エネルギー保存則より：
$$ eV = \frac{1}{2}mv^2 $$速度 \(v\) について解くと：
$$ v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \quad \cdots (1) $$ローレンツ力が円運動の向心力を提供するので：
$$ evB = \frac{mv^2}{r} $$\(v\) について解くと：
$$ v = \frac{eBr}{m} \quad \cdots (2) $$(1)式を2乗して：
$$ v^2 = \frac{2eV}{m} $$(2)式を2乗して：
$$ v^2 = \frac{e^2B^2r^2}{m^2} $$両式の左辺が等しいので：
$$ \frac{2eV}{m} = \frac{e^2B^2r^2}{m^2} $$両辺を \(e/m\) で割って整理すると：
$$ \frac{e}{m} = \frac{2V}{B^2r^2} $$(2)式 \(v = eBr/m\) を(1)式 \(eV = \frac{1}{2}mv^2\) に代入：
\(eV = \frac{1}{2}m \cdot \frac{e^2B^2r^2}{m^2} = \frac{e^2B^2r^2}{2m}\)
両辺を \(eB^2r^2/2\) で割ると、同じ結果が得られます。
1897年にJ.J.トムソンはこの原理を用いて電子の比電荷を測定し、電子の発見につながりました。実測値は \(e/m \fallingdotseq 1.76 \times 10^{11}\) C/kg です。加速電圧 \(V\)、磁束密度 \(B\)、半径 \(r\) はすべて実験で測定できる量なので、比電荷が求まります。
荷電粒子の問題では「加速の式」と「円運動の式」の2本立てが基本。\(v\) を消去して比電荷や質量を求める問題は頻出。式変形で \(v^2\) を揃えると消去しやすい。