解法

Step 1：速度を分解する

• 磁場に垂直な成分：\(v_\perp = v\sin\theta\) → 等速円運動
• 磁場に平行な成分：\(v_\parallel = v\cos\theta\) → 等速直線運動（力を受けない）

Step 2：円運動の周期

ローレンツ力 = 向心力：

$$qv_\perp B = \frac{mv_\perp^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{mv_\perp}{qB} = \frac{mv\sin\theta}{qB}$$ $$T = \frac{2\pi r}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{qB}$$

Step 3：(1) x 軸を横切るまでの時間

垂直面内の円運動がちょうど1周すると、粒子は x 軸上に戻ります。よって：

$$t = T = \frac{2\pi m}{qB}$$

Step 4：(2) 原点からの距離

1周期の間に x 方向に進む距離（ピッチ）：

$$d = v_\parallel \cdot T = v\cos\theta \cdot \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi mv\cos\theta}{qB}$$

1周期後は y, z 成分とも 0（x 軸上に戻る）なので、原点からの距離はこの \(d\) に等しい。

数値計算の確認：電流 10 A の直線導線から距離 5.0 cm の点の磁束密度は \(B = \mu_0 I / (2\pi r) = 4\pi \times 10^{-7} \times 10 / (2\pi \times 0.050) = 4.0 \times 10^{-5}\) T。磁場中の導線に働く力は \(F = BIl = 4.0 \times 10^{-5} \times 10 \times 0.10 = 4.0 \times 10^{-5}\) N です。

補足：半周期で x 軸を横切る場合との区別

「x 軸を横切る」と「x 軸上に戻る」は異なります。半周期 \(T/2\) では y-z 面の円運動が半周し、反対側の x 軸を通過しますが、これは x 軸を「横切る」のではなく「x 軸の反対側」です。本問では原点から出発して最初に x 軸上に戻るのは1周期後 \(T\) です。ただし、問題の図と座標の取り方により半周期が答えになる場合もあるので、問題文をよく読みましょう。