磁場に垂直に入射した荷電粒子はローレンツ力を受けて等速円運動をします。ローレンツ力は常に速度に垂直なので仕事をせず、速さは変わりません。半円を描いて到達するので、かかる時間は周期の半分です。そして周期は速さに依存しないため、入射速度がいくらでも答えは同じです。
Step 1：ローレンツ力 = 向心力から半径を求める
$$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{mv}{qB}$$Step 2：周期を求める
円周 \(2\pi r\) を速さ \(v\) で一周する時間：
$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$$周期は速さ \(v\) に依存しないことに注目。
Step 3：半円を描く時間
半円は1周期の半分だから：
$$t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB}$$数値計算の確認：電流 10 A の直線導線から距離 5.0 cm の点の磁束密度は \(B = \mu_0 I / (2\pi r) = 4\pi \times 10^{-7} \times 10 / (2\pi \times 0.050) = 4.0 \times 10^{-5}\) T。磁場中の導線に働く力は \(F = BIl = 4.0 \times 10^{-5} \times 10 \times 0.10 = 4.0 \times 10^{-5}\) N です。
速さが大きいと半径 \(r\) も大きくなりますが、その分だけ円周も長くなります。周期 \(T = 2\pi r / v = 2\pi m/(qB)\) は \(v\) が分子・分母で打ち消されるため、速さに無関係です。これがサイクロトロンの動作原理の基礎です。
半円を描く → 半周期 \(T/2 = \pi m/(qB)\) を使います。この値は入射速度 \(v\) に無関係です。速さが変わっても到達時間は同じ！