解法

Step 1：電気振動の周波数

LC 回路の固有振動数は：

$$ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.0 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-7}}} $$ $$ = \frac{1}{2\pi \times 6.32 \times 10^{-4}} \fallingdotseq 252 \ \text{Hz} $$

Step 2：振動電流が最大になるまでの時間

コンデンサーが満充電の状態（\(t = 0\)）から放電を開始し、電荷がゼロになったとき（= エネルギーがすべてコイルの磁気エネルギーに変換）電流が最大になります。これは 1/4 周期後です：

$$ t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4f} = \frac{1}{4 \times 252} \fallingdotseq 9.9 \times 10^{-4} \ \text{s} $$

Step 3：最大電流

エネルギー保存の法則を使います。初めにコンデンサーに蓄えられた静電エネルギーがすべてコイルの磁気エネルギーに変換されたとき：

$$ \frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}LI_{\max}^2 $$ $$ I_{\max} = V_0 \sqrt{\frac{C}{L}} = 30 \times \sqrt{\frac{2.0 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-3}}} $$ $$ = 30 \times \sqrt{1.0 \times 10^{-4}} = 30 \times 0.01 = 0.30 \ \text{A} $$

また、導線の抵抗は無視できないので（等価直列抵抗）、実際の最大電流はこれより小さくなります。

数値計算の確認：磁束密度 0.50 T の磁場中を長さ 20 cm の導線が速さ 3.0 m/s で動くと、誘導起電力は \(\varepsilon = Blv = 0.50 \times 0.20 \times 3.0 = 0.30\) V。抵抗 6.0 Ω の回路に流れる電流は \(I = 0.30 / 6.0 = 0.050\) A です。

補足：力学との対応

LC 回路の電気振動は、ばね振り子の単振動と完全に対応します。電荷 \(q\) ↔ 変位 \(x\)、電流 \(I\) ↔ 速度 \(v\)、\(C\) ↔ \(1/k\)（ばね定数の逆数）、\(L\) ↔ \(m\)（質量）。コンデンサーの静電エネルギー ↔ 弾性エネルギー、コイルの磁気エネルギー ↔ 運動エネルギーです。