J.J.トムソンは陰極線管の中で電場と磁場を組み合わせ、電子のずれと曲がり方から比電荷 \(e/m\) を測定しました。電場のみで偏向量を測り、電場と磁場を同時にかけて速度 \(v = E/B\) を決定します。
Step 1：電場中の偏向
長さ \(l\) の平行板間で電場 \(E\) をかけると、電子は鉛直方向に加速されます。通過時間 \(t = l/v\) の間のずれは：
$$ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{eE}{m} \cdot \left(\frac{l}{v}\right)^2 = \frac{eEl^2}{2mv^2} $$Step 2：電場と磁場で直進条件を作る
電場 \(E\) と磁場 \(B\) を同時にかけて電子を直進させると \(eE = evB\) より：
$$ v = \frac{E}{B} $$Step 3：比電荷を導出
Step 1 のずれの式に \(v = E/B\) を代入し、スクリーンまでの距離 \(L\) を考慮すると：
$$ \frac{e}{m} = \frac{2yE}{B^2 l \cdot L} $$Step 4：数値計算（典型値）
ずれ \(y = 0.020\) m、\(E = 5.0 \times 10^3\) V/m、\(B = 1.0 \times 10^{-3}\) T、\(l = 0.05\) m、\(L = 0.30\) m のとき：
$$ \frac{e}{m} = \frac{2 \times 0.020 \times 5.0 \times 10^3}{(1.0 \times 10^{-3})^2 \times 0.05 \times 0.30} = \frac{200}{1.5 \times 10^{-8}} = 1.3 \times 10^{10} \text{ C/kg} $$精密な測定では \(e/m = 1.76 \times 10^{11}\) C/kg が得られます。
数値計算の確認：プランク定数 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\) J·s、振動数 \(5.0 \times 10^{14}\) Hz の光子のエネルギーは \(E = 6.63 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14} = 3.3 \times 10^{-19}\) J = 2.1 eV。仕事関数 1.9 eV なら最大運動エネルギーは \(2.1 - 1.9 = 0.2\) eV です。
比電荷の値は陰極の金属や管内の気体の種類によらず一定です。これが「陰極線はすべて同じ粒子（電子）の流れ」であることの証拠となりました。
磁場のみを加えた場合、電子は半径 \(r\) の円運動をします：
$$ evB = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad \frac{e}{m} = \frac{v}{Br} $$半径 \(r\) と速度 \(v\) を測定すれば比電荷が求まります。速度は \(v = E/B\)（直進条件）で得られるので：
$$ \frac{e}{m} = \frac{E}{B^2 r} $$