X線光子が電子と「ビリヤードの玉のように」衝突すると、光子はエネルギーの一部を電子に渡します。エネルギーが減った光子は振動数が下がり、波長が長くなります。
Step 1：光子の運動量
$$ p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} $$Step 2：コンプトン散乱の波長変化
エネルギー保存と運動量保存から、散乱角 \(\phi\) での波長変化は：
$$ \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi) $$\(h/(mc) = 2.43 \times 10^{-12}\) m をコンプトン波長と呼びます。
Step 3：数値計算（\(\phi = 90°\) の場合）
$$ \Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos 90°) = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0) = 2.43 \times 10^{-12} \text{ m} = 2.43 \text{ pm} $$Step 4：\(\phi = 180°\)（後方散乱）の場合
$$ \Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos 180°) = 2.43 \times 10^{-12} \times 2 = 4.86 \times 10^{-12} \text{ m} $$数値計算の確認：プランク定数 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\) J·s、振動数 \(5.0 \times 10^{14}\) Hz の光子のエネルギーは \(E = 6.63 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14} = 3.3 \times 10^{-19}\) J = 2.1 eV。仕事関数 1.9 eV なら最大運動エネルギーは \(2.1 - 1.9 = 0.2\) eV です。
コンプトン効果はX線の粒子性（光子が運動量をもつ）の直接的な証拠です。散乱角が大きいほど波長変化が大きく、最大は \(\phi = 180°\) で \(2h/(mc)\)。
x方向の運動量保存：
$$ \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\phi + p_e\cos\alpha $$y方向の運動量保存：
$$ 0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\phi - p_e\sin\alpha $$エネルギー保存：
$$ \frac{hc}{\lambda} + mc^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p_e c)^2 + (mc^2)^2} $$これら3式から \(p_e\) と \(\alpha\) を消去すると \(\lambda' - \lambda = (h/mc)(1-\cos\phi)\) が得られます。