電場中の電子の運動は「水平方向は等速、鉛直方向は等加速度」です。斜方投射の逆バージョンとして考えます。偏向量からe/mを求めます。
Step 1：電場中の加速度
$$ a = \frac{eE}{m} $$Step 2：電場領域（長さ \(l\)）の通過時間
$$ t = \frac{l}{v} $$Step 3：偏向量
$$ y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{eE}{m} \cdot \frac{l^2}{v^2} = \frac{eEl^2}{2mv^2} $$Step 4：比電荷の導出と計算
$$ \frac{e}{m} = \frac{2yv^2}{El^2} $$例：\(y = 0.015\) m、\(v = 3.0 \times 10^7\) m/s、\(E = 2.0 \times 10^4\) V/m、\(l = 0.050\) m のとき：
$$ \frac{e}{m} = \frac{2 \times 0.015 \times (3.0 \times 10^7)^2}{2.0 \times 10^4 \times (0.050)^2} = \frac{2.7 \times 10^{13}}{5.0 \times 10^1} = 5.4 \times 10^{11} \fallingdotseq 1.8 \times 10^{11} \text{ C/kg} $$数値計算の確認：プランク定数 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\) J·s、振動数 \(5.0 \times 10^{14}\) Hz の光子のエネルギーは \(E = 6.63 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14} = 3.3 \times 10^{-19}\) J = 2.1 eV。仕事関数 1.9 eV なら最大運動エネルギーは \(2.1 - 1.9 = 0.2\) eV です。
電場中の荷電粒子の運動は重力場での放物運動と数学的に同じ形です。「重力→電気力」「質量→電荷」の対応です。
電場を出てからスクリーンまでの距離 \(L\) の間は等速直線運動です。偏向角 \(\theta\) は：
$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{at}{v} = \frac{eEl}{mv^2} $$スクリーン上の全ずれ \(Y = y + L\tan\theta\) を測定して \(e/m\) を求めることもできます。