ミリカンは帯電した油滴を電場で浮かせ、個々の油滴の電荷を測定しました。すべての電荷が \(1.6 \times 10^{-19}\) C の整数倍であることから電気素量を発見しました。
Step 1：油滴のつりあい条件
重力と電気力がつり合うとき油滴は静止します：
$$ mg = qE \quad \Rightarrow \quad q = \frac{mg}{E} $$Step 2：複数の油滴の電荷測定
例えば5つの油滴で \(q_1 = 4.8, q_2 = 8.0, q_3 = 6.4, q_4 = 3.2, q_5 = 9.6\)（すべて \(\times 10^{-19}\) C）が得られたとします。
Step 3：最大公約数の算出
$$ \gcd(4.8, 8.0, 6.4, 3.2, 9.6) = 1.6 $$ $$ e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} $$各油滴の電荷は \(q_1 = 3e, q_2 = 5e, q_3 = 4e, q_4 = 2e, q_5 = 6e\) と整数倍です。
数値計算の確認：プランク定数 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\) J·s、振動数 \(5.0 \times 10^{14}\) Hz の光子のエネルギーは \(E = 6.63 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14} = 3.3 \times 10^{-19}\) J = 2.1 eV。仕事関数 1.9 eV なら最大運動エネルギーは \(2.1 - 1.9 = 0.2\) eV です。
比電荷 \(e/m = 1.76 \times 10^{11}\) C/kg と電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C から電子の質量が求まります：\(m = e/(e/m) = 9.1 \times 10^{-31}\) kg。
油滴の質量は電場なしでの終端速度から求めます。ストークスの法則：
$$ F_{\text{drag}} = 6\pi\eta r v_t $$終端速度 \(v_t\) から半径 \(r\) を求め、\(m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho\) で質量を算出します。
$$ r = \sqrt{\frac{9\eta v_t}{2\rho g}} $$