ボーアの水素原子模型は①量子条件（電子の軌道は特定の半径のみ許される）②振動数条件（エネルギー準位間の遷移で光を放出・吸収）の2つの仮定に基づきます。
Step 1：量子条件
$$ 2\pi r = n\lambda = n\frac{h}{mv} \quad \Rightarrow \quad mvr = n\frac{h}{2\pi} $$Step 2：力のつりあい
$$ k_0\frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$Step 3：軌道半径とエネルギー
$$ r_n = n^2 r_1, \quad E_n = \frac{E_1}{n^2} $$（\(r_1 \fallingdotseq 5.29 \times 10^{-11}\) m：ボーア半径、\(E_1 = -13.6\) eV）
数値計算の確認：水素のエネルギー準位 \(E_n = -13.6/n^2\) eV より、\(n = 2\) → \(n = 1\) の遷移で \(\Delta E = 13.6 \times (1 - 1/4) = 10.2\) eV の光子を放出。波長は \(\lambda = hc/\Delta E = 1240 / 10.2 = 122\) nm です。振動数は \(2.47 \times 10^{15}\) Hz。
平均寿命 \(\tau = T_{1/2}/\ln 2 \fallingdotseq 1.443 T_{1/2}\) です。半減期は「半数が崩壊する時間」、平均寿命は「1個の原子核が崩壊するまでの平均時間」。
\(E_n\) は負の値で、\(n\) が大きいほど 0 に近づきます。\(n = \infty\) で \(E = 0\)（電離状態）です。