解法

Step 1：β崩壊後の原子核（①）

β崩壊では中性子が陽子に変わり電子（β線）を放出します：\(Z \to Z+1\)、\(A \to A\)（質量数は変化しない）。

\({}^{131}_{53}\text{I}\) がβ崩壊すると：

$$ {}^{131}_{53}\text{I} \to {}^{131}_{54}\text{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\text{e} $$

生成核は \({}^{131}\text{Xe}\)（キセノン、\(Z=54,\; A=131\)）です。

Step 2：4.0 g になるまでの時間（②）

半減期 \(T = 8\) 日、初期量 \(N_0 = 16\) g のとき：

$$ \frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} $$

\(N = 4.0\) g のとき \(N/N_0 = 4.0/16 = 1/4 = (1/2)^2\) より：

$$ \frac{t}{T} = 2 \quad \Rightarrow \quad t = 2T = 2 \times 8 = 16 \text{ 日} $$

Step 3：32 日後の残存量（③）

\(t = 32\) 日のとき：

$$ \frac{t}{T} = \frac{32}{8} = 4 $$ $$ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1.0 \text{ g} $$

補足：半減期と対数

残存率が \((1/2)^n\) の形でない場合は対数を使います：\(t = T \times \log(N_0/N) / \log 2\)。\(\log 2 \fallingdotseq 0.301\) は覚えておくと便利です。