教科書（物理基礎） 例題8：力のつりあい②

解法

直感的理解
なめらかな（摩擦のない）斜面上に重さ \(mg = 20\;\text{N}\) の物体を置き、斜面に沿って上向きに糸で引いて静止させます。斜面上の力のつりあいでは、重力を「斜面に平行な成分」と「斜面に垂直な成分」に分解するのがポイントです。斜面方向では張力 \(T\) と重力の斜面成分がつりあい、垂直方向では垂直抗力 \(N\) と重力の垂直成分がつりあいます。

傾き \(\theta = 30^\circ\) のなめらかな斜面上に重さ \(mg = 20\;\text{N}\) の物体を置き、斜面に沿って上向きに糸で引いて静止させます。糸の張力 \(T\) と斜面からの垂直抗力 \(N\) を求めます。

解法

Step 1：座標軸の設定

斜面上の問題では、斜面に平行な方向と斜面に垂直な方向に座標軸をとると便利です。重力 \(mg\) を2成分に分解します。

Step 2：斜面に平行な方向のつりあい（斜面上向き正）

$$ T - mg\sin\theta = 0 $$ $$ T = mg\sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10\;\text{N} $$

Step 3：斜面に垂直な方向のつりあい（斜面から離れる向き正）

$$ N - mg\cos\theta = 0 $$ $$ N = mg\cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.3\;\text{N} $$

検算：

$$ T^2 + N^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = (mg)^2 \quad \checkmark $$

分解した2成分の合力が元の重力に等しいことも確認できます。

数値計算：計算すると 0 を得る。

答え：\(T = mg\sin\theta = 10\;\text{N}\)、\(N = mg\cos\theta = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17\;\text{N}\)
💡 なぜ「斜面方向に分解」するのか？

重力を水平・鉛直に分解することもできますが、その場合は \(T\) や \(N\) も分解する必要があり、式が複雑になります。

斜面に平行・垂直の座標系では、\(T\) は斜面平行方向のみ、\(N\) は斜面垂直方向のみにはたらくため、分解するのは重力だけで済みます。

$$ \text{斜面平行：} T = mg\sin\theta \quad (\text{未知数1つ}) $$ $$ \text{斜面垂直：} N = mg\cos\theta \quad (\text{未知数1つ}) $$

もし水平・鉛直で分解すると：

$$ \text{水平：} N\sin\theta - T\cos\theta = 0 $$ $$ \text{鉛直：} N\cos\theta + T\sin\theta - mg = 0 $$

連立方程式になり、手間が増えます。

🔍 θ を変えると T と N はどう変化する？

スライダーで角度を変えて確認しましょう。

  • \(\theta = 0^\circ\)（水平面）→ \(T = 0\), \(N = mg\)：糸なしで静止、抗力が重力を支える
  • \(\theta = 30^\circ\) → \(T = 10\;\text{N}\), \(N \fallingdotseq 17.3\;\text{N}\)
  • \(\theta = 45^\circ\) → \(T = N = mg/\sqrt{2} \fallingdotseq 14.1\;\text{N}\)：両方等しくなる
  • \(\theta = 90^\circ\)（壁）→ \(T = mg = 20\;\text{N}\), \(N = 0\)：糸だけで吊るす

\(\theta\) が大きくなるほど \(T\)（斜面成分）が増え、\(N\)（垂直成分）が減ります。

数値計算：計算すると 0 を得る。

Point

斜面の問題では、重力を斜面に平行（\(mg\sin\theta\)）と斜面に垂直（\(mg\cos\theta\)）に分解します。斜面角 \(\theta\) が大きいほど斜面方向の成分が大きくなり、糸の張力も大きくなります。スライダーで角度を変えて力の変化を確認しましょう。