解法

直感的理解

傾きの角 $\theta$ のなめらかな斜面上に質量 $m$ の物体が糸で引かれて静止しています。重力 $mg$ は鉛直下向きですが、斜面方向と斜面に垂直な方向の2成分に分解すると、それぞれの方向でつりあいの式が立てられます。角度を変えると張力 $T$ と垂直抗力 $N$ がどう変わるか、スライダーで確認しましょう。

斜面に沿って糸で引かれた物体が静止しているとき、斜面方向と斜面に垂直な方向の2方向で力がつりあいます。

重力 $mg$ を斜面に沿った成分と垂直な成分に分解すると：

$$ mg\text{の斜面方向成分} = mg\sin\theta $$ $$ mg\text{の垂直方向成分} = mg\cos\theta $$

具体的な計算（$m = 2.0\,\text{kg}$, $\theta = 30°$, $g = 9.8\,\text{m/s}^2$）：

斜面方向のつりあいより：

$$ T = mg\sin\theta = 2.0 \times 9.8 \times \sin 30° = 2.0 \times 9.8 \times 0.50 = 9.8\,\text{N} $$

垂直方向のつりあいより：

$$ N = mg\cos\theta = 2.0 \times 9.8 \times \cos 30° = 2.0 \times 9.8 \times 0.87 = 17\,\text{N} $$

答え：
張力 $T = mg\sin\theta = 9.8\,\text{N}$、垂直抗力 $N = mg\cos\theta = 17\,\text{N}$

補足：θ が変わると T と N はどう変化する？

$\theta$ が大きくなる（斜面が急になる）と：

$\sin\theta$ が増加 → 張力 $T$ は大きくなる（重力の斜面成分が増えるため）
$\cos\theta$ が減少 → 垂直抗力 $N$ は小さくなる（斜面を押す力が減るため）

極端な場合を考えると分かりやすいです：

$\theta = 0°$（水平）→ $T = 0$, $N = mg$（床に物体が置いてあるだけ）
$\theta = 90°$（鉛直）→ $T = mg$, $N = 0$（糸でぶら下がっているだけ）

上のシミュレーションでスライダーを動かして、この関係を確かめてみましょう。

別解：三角形の力の合成で解く

力の分解ではなく、力の三角形を使って解くこともできます。3力 $T$, $N$, $mg$ がつりあっているので、ベクトルを順に繋ぐと閉じた三角形になります。

$$ \frac{T}{\sin\theta} = \frac{N}{\cos\theta} = \frac{mg}{1} $$

この比から直接 $T = mg\sin\theta$, $N = mg\cos\theta$ が求まります。力が3つの場合はラミの定理を使う方法もあります。

数値計算：2.0 × 9.8 = 19.6

Point

斜面の問題では「斜面方向」と「斜面に垂直な方向」に軸を取るのが鉄則です。重力を分解することで、未知数が $T$ と $N$ の2つだけになり、2本のつりあい式で解けます。水平・鉛直に軸を取ると $T$ と $N$ の両方に三角関数が入り、計算が複雑になります。

教科書（物理基礎） 類題8：力のつりあい②

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教科書（物理基礎）類題8：力のつりあい②