解法

直感的理解

例題11と同じ斜面の問題ですが、角度が $45°$ に変わりました。斜面が急になると重力の斜面方向成分 $mg\sin\theta$ が大きくなるので加速度も増え、垂直抗力 $N = mg\cos\theta$ は小さくなります。シミュレーションで角度を変えて確認しましょう。

解法

傾きの角 $45°$ のなめらかな斜面上を、質量 $m = 0.50$ kg の物体がすべり下ります。加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求めます。

Step 1：斜面方向の運動方程式

斜面下向きを正として：

$$ ma = mg\sin\theta $$

両辺を $m$ で割ると：

$$ a = g\sin 45° = 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 9.8 \times 0.707 \fallingdotseq 6.9\;\text{m/s}^2 $$

Step 2：斜面に垂直な方向の力のつりあい

斜面に垂直な方向では加速度がないので：

$$ N = mg\cos 45° = 0.50 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4.9 \times 0.707 \fallingdotseq 3.5\;\text{N} $$

答え：$a \fallingdotseq 6.9\;\text{m/s}^2$（斜面下向き）、$N \fallingdotseq 3.5\;\text{N}$

数値計算：9.8 × 0.707 = 6.93

Point

例題11（$\theta = 30°$）では $a = 4.9$ m/s² でしたが、$\theta = 45°$ にすると $a \fallingdotseq 6.9$ m/s² と大きくなります。斜面が急になるほど加速度は大きく、垂直抗力は小さくなることを確認しましょう。

📐 θ = 30° と θ = 45° の比較表

θ	sinθ	a [m/s²]	cosθ	N [N]
30°	0.500	4.9	0.866	4.2
45°	0.707	6.9	0.707	3.5
60°	0.866	8.5	0.500	2.5

$\theta = 90°$ にすると $a = g$（自由落下）、$N = 0$（斜面に接触しない）になります。

🔬 発展：sinθ と cosθ が等しくなるのは？

$\theta = 45°$ のとき $\sin\theta = \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、斜面方向の力と垂直方向の力が同じ大きさになります。つまり $a = g\sin 45° = g\cos 45°$ であり、加速度と $\frac{N}{m}$ が等しくなる唯一の角度です。

教科書（物理基礎） 類題11：1物体の運動方程式

解法

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教科書（物理基礎）類題11：1物体の運動方程式