解法

2つのばね A、B について、弾性力 \(F\) と伸び \(x\) の関係がグラフで与えられています。グラフの傾きからばね定数を読み取り、どちらが伸びやすいかを判定します。

フックの法則と \(F\)-\(x\) グラフの関係：

$$ F = kx $$

この式は原点を通る比例のグラフ（直線）になり、傾き＝ばね定数 \(k\) です。

$$ k = \frac{F}{x} = \frac{\Delta F}{\Delta x} = \text{グラフの傾き} $$

(1) どちらが伸びやすいか

同じ大きさの力 \(F\) を加えたとき、伸び \(x = F/k\) が大きい方が伸びやすいばねです。

$$ x = \frac{F}{k} $$

\(k\) が小さいほど \(x\) が大きくなるので、傾きが小さい＝ばね定数が小さい＝伸びやすい。

グラフからばねAの方が傾きが小さいため、ばねAの方が伸びやすい。

(2) ばね定数の読み取り

グラフ上の点を読み取り、\(k = F/x\) で計算します。例えばグラフから次の値が読み取れたとします。

ばねA： \(x = 0.50\,\text{m}\) のとき \(F = 5.0\,\text{N}\)

$$ k_A = \frac{F}{x} = \frac{5.0}{0.50} = 10\,\text{N/m} $$

ばねB： \(x = 0.20\,\text{m}\) のとき \(F = 5.0\,\text{N}\)

$$ k_B = \frac{F}{x} = \frac{5.0}{0.20} = 25\,\text{N/m} $$

ばねAは 10 N/m、ばねBは 25 N/m です。例えば 5.0 N の力を加えると、ばねAの伸びは 5.0 ÷ 10 = 0.50 m、ばねBの伸びは 5.0 ÷ 25 = 0.20 m となり、ばねAの方が大きく伸びます。

別解：逆数で考える方法

\(F = kx\) を変形すると \(x = \frac{1}{k} F\) になります。横軸に \(F\)、縦軸に \(x\) をとったグラフでは、傾き＝ \(\frac{1}{k}\) になります。

$$ x = \frac{1}{k} F $$

つまり、\(x\)-\(F\) グラフ（軸を入れ替え）で傾きが大きい方が伸びやすいばねです。

ばねA：傾き \(= 1/10 = 0.10\,\text{m/N}\)

ばねB：傾き \(= 1/25 = 0.04\,\text{m/N}\)

\(0.10 > 0.04\) なので、やはりばねAの方が伸びやすいと分かります。この「\(1/k\)」はコンプライアンス（柔軟度）と呼ばれます。

補足：ばねの直列・並列接続とばね定数

2つのばねを組み合わせると合成ばね定数が変わります。

直列接続（ばねを縦につなぐ）：

$$ \frac{1}{k_{\text{合}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} $$

並列接続（ばねを横に並べる）：

$$ k_{\text{合}} = k_1 + k_2 $$

直列にすると柔らかく（伸びやすく）、並列にすると硬くなります。