解法

直感的理解

定滑車に軽い糸をかけ、一方に水平面上の物体 $m$、他方に鉛直に吊り下げたおもり $M$ をつなぎます。おもり $M$ の重力が全体を引っ張る駆動力です。例題13と同じ構造ですが、ここでは文字のまま一般解を求めるのがポイントです。

解法

なめらかな水平面上に質量 $m$ の物体、定滑車を通して軽い糸の他端に質量 $M$ のおもりをつなぎます。

Step 1：各物体の運動方程式

加速度 $a$、糸の張力 $T$ とします。

$$ \text{物体 } m\text{（水平方向）：}\quad ma = T \quad \cdots(1) $$ $$ \text{おもり } M\text{（鉛直下向き正）：}\quad Ma = Mg - T \quad \cdots(2) $$

Step 2：連立して一般解を導出

(1) + (2) で $T$ を消去：

$$ (m + M)\,a = Mg $$ $$ a = \frac{Mg}{m + M} $$

Step 3：張力を求める

(1) に代入：

$$ T = ma = \frac{mMg}{m + M} $$

検算（数値例: $m = 2.0$ kg, $M = 3.0$ kg）：

$$ a = \frac{3.0 \times 9.8}{2.0 + 3.0} = \frac{29.4}{5.0} = 5.88 \fallingdotseq 5.9\;\text{m/s}^2 $$ $$ T = \frac{2.0 \times 3.0 \times 9.8}{5.0} = \frac{58.8}{5.0} = 11.76 \fallingdotseq 12\;\text{N} $$

答え：$a = \dfrac{Mg}{m + M}$、$T = \dfrac{mMg}{m + M}$

数値計算：3.0 × 9.8 = 29.4 物体

Point

一般解の検証として極限を考えましょう：$m \to 0$ なら $a \to g$（おもりが自由落下）、$m \to \infty$ なら $a \to 0$（動かない）。これらは物理的に正しいので、式が正確だと確認できます。

💡 「一体とみなす」方法との対応

全質量 $m + M$ の系に加わる外力は $Mg$（おもりの重力）のみ。なので：

$$ (m + M)\,a = Mg \quad \Rightarrow \quad a = \frac{Mg}{m + M} $$

連立方程式を足した結果と完全一致します。ただし張力 $T$ を知るには (1) または (2) が必要です。

📐 T の式の対称性と物理的意味

張力の式 $T = \frac{mMg}{m+M}$ は $m$ と $M$ について対称的です（入れ替えても同じ形）。

これは「調和平均」に関連しています：

$$ T = g \cdot \frac{1}{\frac{1}{m} + \frac{1}{M}} $$

どちらか一方がゼロなら $T = 0$、両方とも非常に大きければ $T$ も大きくなりますが、$T < Mg$ かつ $T < mg$ が常に成り立ちます。

教科書（物理基礎） 例題14：2物体の運動方程式

解法

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教科書（物理基礎）例題14：2物体の運動方程式