教科書（物理基礎） 問46：浮力

解法

直感的理解
水中の物体にはたらく浮力と重力の大小関係で、物体が浮くか沈むかが決まります。浮力 \(F = \rho_{\text{水}} V g\) と重力 \(mg = \rho_{\text{物}} V g\) を比較すると、結局は物体の密度と水の密度の大小関係に帰着します。密度が水より小さい物体は浮き、大きい物体は沈みます。

物体の体積 \(V = 1.0 \times 10^{-3}\;\text{m}^3\) が完全に水中にあるとき、浮力は：

$$ F = \rho_{\text{水}} V g = 1000 \times 1.0 \times 10^{-3} \times 9.8 = 9.8\;\text{N} $$

物体の重力は密度 \(\rho_{\text{物}}\) によって異なります。浮くか沈むかの判定は：

$$ \begin{cases} F > mg \quad (\rho_{\text{物}} < \rho_{\text{水}}) & \Longrightarrow \text{浮き上がる} \\ F = mg \quad (\rho_{\text{物}} = \rho_{\text{水}}) & \Longrightarrow \text{浮遊（静止）} \\ F < mg \quad (\rho_{\text{物}} > \rho_{\text{水}}) & \Longrightarrow \text{沈む} \end{cases} $$

例えば木（\(\rho = 500\;\text{kg/m}^3\)）なら：

$$ mg = 500 \times 1.0 \times 10^{-3} \times 9.8 = 4.9\;\text{N} < 9.8\;\text{N} = F $$

浮力が重力より大きいので浮きます。鉄（\(\rho = 7800\;\text{kg/m}^3\)）なら \(mg = 76.4\;\text{N} \gg 9.8\;\text{N}\) なので沈みます。

答え：\(F = \rho_{\text{水}} V g\) で浮力を求め、重力との大小関係で浮沈を判定する
補足：浮いた場合の沈む割合

物体が水面に浮いて静止しているとき、浮力 = 重力のつりあいから：

$$ \rho_{\text{水}} V_{\text{水面下}} g = \rho_{\text{物}} V_{\text{全体}} g $$ $$ \frac{V_{\text{水面下}}}{V_{\text{全体}}} = \frac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{水}}} $$

例えば氷（\(\rho = 920\;\text{kg/m}^3\)）は全体の 92% が水面下に沈みます。「氷山の一角」は全体の約 8% しか水面上に出ていないことになります。スライダーで密度を変えて確認しましょう。

数値計算：1000 × 1.0 = 1000

数値計算：1000 × 1.0 = 1000

Point

物体が浮くか沈むかは密度の比較で決まります。\(\rho_{\text{物}} < \rho_{\text{水}}\) なら浮き、\(\rho_{\text{物}} > \rho_{\text{水}}\) なら沈みます。浮力自体は物体の密度に無関係で、排除した流体の体積と密度だけで決まることに注意しましょう。