この問題は、密度 \(\rho = 1.4 \times 10^3\;\text{kg/m}^3\)、体積 \(V = 20\;\text{cm}^3 = 2.0 \times 10^{-5}\;\text{m}^3\) の小さな物体を、密度 \(\rho_0 = 0.92 \times 10^3\;\text{kg/m}^3\) の液体に入れたときの浮沈を判定し、さらに密度 \(\rho'\) の直方体（底面積 \(S\)、高さ \(h\)）が密度 \(\rho\) の液体に浮いているときの沈んだ深さ \(d\) を求める問題です。
物体にはたらく力は、重力 \(W\) と浮力 \(F_b\) の2つです。
$$ W = \rho V g = 1.4 \times 10^3 \times 2.0 \times 10^{-5} \times 9.8 = 0.2744\;\text{N} $$もし物体が完全に沈んだとしたときの浮力は：
$$ F_b = \rho_0 V g = 0.92 \times 10^3 \times 2.0 \times 10^{-5} \times 9.8 = 0.1802\;\text{N} $$\(W = 0.274\;\text{N} > F_b = 0.180\;\text{N}\) なので浮力で支えきれず、物体は沈む。
密度の大小比較だけで即座に判定できます。\(\rho = 1.4 \times 10^3 > \rho_0 = 0.92 \times 10^3\) なので沈みます。わざわざ浮力を計算しなくても OK です。
密度 \(\rho'\)（\(\rho' < \rho\)）、底面積 \(S\)、高さ \(h\) の直方体が、深さ \(d\) だけ沈んで浮いているとき、力のつりあいは：
$$ \text{重力} = \text{浮力} $$ $$ \rho' S h g = \rho S d g $$両辺を \(S g\) で割ると：
$$ d = \frac{\rho'}{\rho} h $$たとえば \(\rho' = 0.80 \times 10^3\;\text{kg/m}^3\)、\(\rho = 1.0 \times 10^3\;\text{kg/m}^3\)、\(h = 10\;\text{cm}\) なら：
$$ d = \frac{0.80 \times 10^3}{1.0 \times 10^3} \times 10 = 8.0\;\text{cm} $$物体が沈むとき、物体の重力による位置エネルギーの減少が、排除された液体の位置エネルギー増加を上回っています。
密度 \(\rho\) の物体が密度 \(\rho_0\) の液体中に体積 \(V\) だけ沈むと、エネルギー変化は \((\rho - \rho_0)Vg \cdot \Delta h\) に比例します。\(\rho > \rho_0\) なら沈む方がエネルギーが低く安定、\(\rho < \rho_0\) なら浮く方が安定です。
結局、密度の大小比較に帰着する、というのはエネルギーの観点からも自然に説明できます。
深さ \(z\) での液体の圧力は \(P = P_0 + \rho_0 g z\) です。底面積 \(S\)、高さ \(h\) の直方体の上面（深さ \(z_1\)）と下面（深さ \(z_1 + h\)）に作用する圧力差から浮力が求まります：
$$ F_b = (P_{\text{下}} - P_{\text{上}}) \times S = \rho_0 g h S = \rho_0 V g $$これが排除した液体の重さに等しいというアルキメデスの原理です。