教科書（物理基礎） 問30：力の成分

解法

直感的理解

力の成分とは、力ベクトルを \(x\) 軸・\(y\) 軸に「投影した影の長さ」です。斜めの棒に光を当てると壁と床にそれぞれ影ができるイメージで、60° のような急角度では縦の影（\(F_y\)）が長く、横の影（\(F_x\)）が短くなります。

力 \(F = 20\,\text{N}\) が \(x\) 軸正方向から \(\theta = 60°\) の方向に作用しているとき、\(x\) 成分 \(F_x\) と \(y\) 成分 \(F_y\) を求めます。

力の成分は三角比を使って次のように求めます：

$$ F_x = F\cos\theta = 20 \times \cos 60° $$

\(\cos 60° = \dfrac{1}{2}\) を代入すると：

$$ F_x = 20 \times \frac{1}{2} = 10\,\text{N} $$

同様に \(y\) 成分：

$$ F_y = F\sin\theta = 20 \times \sin 60° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.3\,\text{N} $$

検算として、成分から元の力を復元します：

$$ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = \sqrt{400} = 20\,\text{N}\quad\checkmark $$
答え：
\(F_x = 10\,\text{N}\)、\(F_y = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.3\,\text{N}\)
別解：30°-60°-90° の辺の比を使う方法

30°-60°-90° の直角三角形の辺の比は \(1 : \sqrt{3} : 2\) です。この問題では \(\theta = 60°\) なので：

  • 斜辺（\(F\)）= 2 → 実際は 20 N（倍率 10）
  • 60° の対辺（\(F_y\)）= \(\sqrt{3}\) → \(10\sqrt{3} \fallingdotseq 17.3\,\text{N}\)
  • 30° の対辺（\(F_x\)）= 1 → \(10\,\text{N}\)
$$ F_x : F_y : F = 1 : \sqrt{3} : 2 = 10 : 10\sqrt{3} : 20 $$

三角比を覚えていなくても、この辺の比を使えば素早く成分が求まります。

補足：cos と sin の対応を間違えないコツ

\(\theta\) が大きいほど「縦に長く、横に短い」矢印になります。\(\sin\) は角度が大きいと値が大きい（\(\sin 60° > \sin 30°\)）ので：

  • \(F_y\)（縦 = 長い方）→ \(\sin\)を使う
  • \(F_x\)（横 = 短い方）→ \(\cos\)を使う

この問題では \(\theta = 60°\) なので \(F_y > F_x\) であり、実際に \(10\sqrt{3} > 10\) と一致します。

Point

60° の場合、\(F_x = \frac{1}{2}F\)、\(F_y = \frac{\sqrt{3}}{2}F\) となり、\(F_y\) の方が大きくなります。30° のときはこの関係が逆転します。シミュレーションのスライダーで力の大きさを変え、角度をドラッグして 30° と 60° を比較してみましょう。