解法

解法

直角三角形において、角 \(\theta\) に対する三角比の定義は次の通りです。

$$ \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} $$

具体例 1：\(\theta = 30^\circ\) のとき、辺の比は 1 : 2 : \(\sqrt{3}\)（対辺 : 斜辺 : 隣辺）なので：

$$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.500,\quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 0.866,\quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 0.577 $$

具体例 2：\(\theta = 45^\circ\) のとき、辺の比は 1 : \(\sqrt{2}\) : 1 なので：

$$ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.707,\quad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.707,\quad \tan 45^\circ = 1.000 $$

具体例 3：\(\theta = 60^\circ\) のとき、辺の比は \(\sqrt{3}\) : 2 : 1（対辺 : 斜辺 : 隣辺）なので：

$$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 0.866,\quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0.500,\quad \tan 60^\circ = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.732 $$

物理への応用例：大きさ F = 10.0 N の力が水平と 30° をなすとき、水平成分は：

$$ F_x = 10.0 \times \cos 30^\circ = 10.0 \times 0.866 = 8.66\;\text{N} $$

補足：tan と sin, cos の関係

\(\tan\theta\) は \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の比として表せます。

$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

例えば \(\theta = 30^\circ\) で検算すると：

$$ \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{0.500}{0.866} \fallingdotseq 0.577 = \tan 30^\circ \quad \checkmark $$

また三平方の定理から、次の重要な関係が常に成り立ちます。

$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

\(\theta = 30^\circ\) で確認：\(0.500^2 + 0.866^2 = 0.250 + 0.750 = 1.000\) \(\checkmark\)