ばねに蓄えた弾性エネルギーが運動エネルギーと重力の位置エネルギーに変わります。3種のエネルギーが登場するので、それぞれを漏れなく書き出すことが重要です。スライダーで高さを変え、その位置での速さがどう変わるか確認しましょう。
ばね定数 32 N/m のばねを 0.70 m 縮めて質量 2.0 kg の物体を放します。
力学的エネルギー保存則：
$$ \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh $$まず弾性エネルギーを計算します。
$$ \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2} \times 32 \times 0.70^2 = \frac{1}{2} \times 32 \times 0.49 = 7.84\,\text{J} $$高さ \(h = 1.0\,\text{m}\) での速さ \(v\) を求めます。
$$ v = \sqrt{\frac{kx_0^2}{m} - 2gh} = \sqrt{\frac{32 \times 0.49}{2.0} - 2 \times 9.8 \times 1.0} $$ $$ v = \sqrt{7.84 - 19.6} $$この値は負になるので、物体は高さ 1.0 m には到達できません。最高点の高さは、
$$ h_{\max} = \frac{kx_0^2}{2mg} = \frac{32 \times 0.49}{2 \times 2.0 \times 9.8} = \frac{15.68}{39.2} = 0.40\,\text{m} $$例えば高さ \(h = 0.20\,\text{m}\) での速さは、
$$ v = \sqrt{\frac{32 \times 0.49}{2.0} - 2 \times 9.8 \times 0.20} = \sqrt{7.84 - 3.92} = \sqrt{3.92} \fallingdotseq 1.98\,\text{m/s} $$高さが 0 のとき（ばねが自然長に戻ったとき）は、
$$ v = \sqrt{\frac{kx_0^2}{m}} = \sqrt{\frac{15.68}{2.0}} = \sqrt{7.84} = 2.80\,\text{m/s} $$高さが増すにつれ速さは減り、\(h_{\max}\) でゼロになります。
力学的エネルギー保存則を使うとき、まず基準面を決め、次に「初め」と「終わり」の2つの状態でエネルギーを書き出すのが定石です。\(v^2 < 0\) になったら「到達不可能」と判断します。