あらい斜面では動摩擦力が常に運動と逆向きにはたらき、上りでも下りでも力学的エネルギーを減らします。そのため下りてきたときの速さは初速より小さくなります。スライダーで初速度を変え、上昇距離と帰還速度がどう変わるか確認しましょう。
傾角 30°、動摩擦係数 0.20 のあらい斜面を、質量 1.0 kg の物体を初速 5.0 m/s で押し上げます。
(1) 斜面を上る距離 \(l\)：
動摩擦力 \(f' = \mu' mg\cos\theta = 0.20 \times 1.0 \times 9.8 \times \cos 30° = 1.70\,\text{N}\)
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgl\sin\theta + f'l $$ $$ \frac{1}{2} \times 1.0 \times 5.0^2 = l(1.0 \times 9.8 \times 0.50 + 1.70) $$ $$ 12.5 = l(4.90 + 1.70) = 6.60\,l $$ $$ l = \frac{12.5}{6.60} = 1.89\,\text{m} $$(2) 下りてきたときの速さ \(v\)：
$$ mgl\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + f'l $$ $$ 1.0 \times 9.8 \times 1.89 \times 0.50 = \frac{1}{2} \times 1.0 \times v^2 + 1.70 \times 1.89 $$ $$ 9.26 = 0.50\,v^2 + 3.21 $$ $$ v^2 = \frac{9.26 - 3.21}{0.50} = 12.1 $$ $$ v = \sqrt{12.1} \fallingdotseq 3.5\,\text{m/s} $$上りの摩擦の仕事：\(W_{\text{up}} = -f'l = -1.70 \times 1.89 = -3.21\,\text{J}\)
下りの摩擦の仕事：\(W_{\text{down}} = -f'l = -1.70 \times 1.89 = -3.21\,\text{J}\)
合計の摩擦損失：\(2 \times 3.21 = 6.42\,\text{J}\)
初期の運動エネルギー \(\frac{1}{2} \times 1.0 \times 5.0^2 = 12.5\,\text{J}\) のうち、\(6.42\,\text{J}\)（約 51%）が摩擦で熱に変わっています。
$$ \frac{v}{v_0} = \frac{3.5}{5.0} = 0.70 $$速さは 70% に減少しますが、運動エネルギーは \(0.70^2 = 0.49\)、つまり約 49% まで減少しています。
上りと下りで動摩擦力の仕事は両方とも負です（どちらも運動方向と逆向き）。そのため往復で摩擦損失は 2 倍になり、下りてきたときの速さは必ず \(v_0\) より小さくなります。一般に \(v = v_0\sqrt{\frac{\sin\theta - \mu'\cos\theta}{\sin\theta + \mu'\cos\theta}}\) です。