解法

質量 \(m\) の物体に力 \(F\) を加え、速さが \(v_0\) から \(v\) に変化したとき、運動エネルギーと仕事の関係式は、

$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = W$$

例として \(m = 2.0\,\text{kg}\)、\(v_0 = 3.0\,\text{m/s}\)、\(F = 10\,\text{N}\) で \(x = 4.0\,\text{m}\) 移動した場合、

$$W = Fx = 10 \times 4.0 = 40\,\text{J}$$ $$\frac{1}{2} \times 2.0 \times v^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 + 40 = 9.0 + 40 = 49\,\text{J}$$ $$v = \sqrt{\frac{2 \times 49}{2.0}} = \sqrt{49} = 7.0\,\text{m/s}$$

補足：運動方程式からの導出

運動方程式 \(ma = F\) と等加速度運動の式 \(v^2 = v_0^2 + 2ax\) から導けます。

$$ma = F \implies a = \frac{F}{m}$$ $$v^2 - v_0^2 = 2 \cdot \frac{F}{m} \cdot x$$

両辺に \(\frac{m}{2}\) をかけると、

$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = Fx = W$$

これが仕事と運動エネルギーの関係の導出です。力が一定でなくても、積分を使えば一般に成り立ちます。

数値計算：10 × 4.0 = 40 kg

数値計算：10 × 4.0 = 40 kg