直感的理解

縮んだ（伸びた）ばねはエネルギーを蓄えています。ばねの力 $F = kx$ は変位に比例して大きくなるため、F-x グラフの面積（三角形）が蓄えたエネルギー $\frac{1}{2}kx^2$ です。

ばね定数 $k = 50\,\text{N/m}$ のばねを $x = 0.20\,\text{m}$ だけ伸ばしたとき、

(1) 弾性力の大きさ：

$$F = kx = 50 \times 0.20 = 10\,\text{N}$$

(2) 弾性力による位置エネルギー：

$$U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.20^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.04 = 1.0\,\text{J}$$

答え：

(1) $F = 10\,\text{N}$　(2) $U = 1.0\,\text{J}$

補足：なぜ ½ がつくのか（F-x グラフの面積）

ばねの力は変位 $x$ に比例して大きくなります（$F = kx$）。F-x グラフは原点を通る直線で、この直線と x 軸で囲まれた面積が弾性力のする仕事（＝位置エネルギー）です。

$$U = \text{三角形の面積} = \frac{1}{2} \times x \times kx = \frac{1}{2}kx^2$$

伸びが 2 倍になると $U$ は $2^2 = 4$ 倍になります。$x = 0.40\,\text{m}$ なら $U = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.16 = 4.0\,\text{J}$（4 倍）です。

数値計算：50 × 0.20 = 10 N/m

Point

弾性力による位置エネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$ は変位の 2 乗に比例します。伸びでも縮みでも $x^2$ なので常に $U \ge 0$ です。

教科書（物理基礎） 問55

教科書（物理基礎）問55