解法

縦波の横波表示における密・疎の判定法です。

密・疎の判定

横波表示の変位 \(y\) のグラフにおいて、媒質の変位の微分（傾き）が密度変化を決めます。

$$ \frac{\partial y}{\partial x} < 0 \quad (\text{傾きが負}) \quad \Rightarrow \quad \textbf{密} $$ $$ \frac{\partial y}{\partial x} > 0 \quad (\text{傾きが正}) \quad \Rightarrow \quad \textbf{疎} $$

変位 \(y = A\sin(kx - \omega t)\) の場合、

$$ \frac{\partial y}{\partial x} = Ak\cos(kx - \omega t) $$

この値が最も負（\(= -Ak\)）の位置が最も密、最も正（\(= +Ak\)）の位置が最も疎です。

数値例：\(A = 0.020\) m、\(\lambda = 0.40\) m（\(k = 2\pi / 0.40 = 5.0\pi\) rad/m）のとき、\(t = 0\) で：

$$ \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x = 0.10} = 0.020 \times 5.0\pi \times \cos(5.0\pi \times 0.10) = 0.10\pi \times \cos(\pi/2) = 0$$

\(x = 0.20\) m のとき \(\cos(\pi) = -1\) なので：

$$ \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x = 0.20} = 0.10\pi \times (-1) = -0.31 \text{ m/m}$$

傾き負 → この点は密。

媒質の速度

媒質の速度は変位の時間微分です。

$$ v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx - \omega t) $$

• 変位 \(y = 0\) かつ傾きが存在する点：速度が最大（振動の中心を通過中）
• 変位が最大・最小の点（山・谷）：速度が 0（折り返し点）

補足：なぜ傾きで密・疎が決まるのか

縦波では媒質が波の進行方向に変位します。横波表示で \(y > 0\) は「正の向きにずれている」、\(y < 0\) は「負の向きにずれている」ことを意味します。

ある点で傾きが負の場合を考えます。

• 左隣の粒子は \(y\) がより大きい → 右に寄っている（こちらに近づく）
• 右隣の粒子は \(y\) がより小さい → 左に寄っている（こちらに近づく）

つまり両側から粒子が集まるので密になります。傾きが正の場合は逆に両側へ離れるので疎です。