図のように,初期状態($t=0$)では2つの波はまだ重なっていません。
再生して,波が出会い,定在波が形成される様子を確認しましょう。
定在波では,節の位置は時間が経っても変わりません。シミュレーションのコマ送りで,赤い合成波の節が固定されていることを確認しましょう。
まず,グラフからこの正弦波の波長 $\lambda$ を読み取ります。
図の原点 $\text{O}$ から $x=2.0$ で山,$x=4.0$ で変位0,$x=6.0$ で谷,$x=8.0$ で再び変位0に戻っていることがわかります。
したがって,1波長分の長さは $\lambda = 8.0 \, \text{m}$ です。
定在波において,隣りあう節と節(または腹と腹)の間隔は,波長の半分(半波長)になります。
$$ \text{節の間隔} = \frac{\lambda}{2} = \frac{8.0}{2} = 4.0 \, \text{m} $$
シミュレーションで $t=2.0\,\text{s}$ くらいまで進めると,合成波(赤色)が $x=0, 4.0, 8.0, 12.0 \dots$ で全く振動しない(節になる)ことがはっきり確認できます。
定在波の節の間隔は $\frac{\lambda}{2}$(半波長)です。グラフから波長を正確に読み取ることが第一歩です。
振幅について:
グラフの縦軸を確認すると,もとの波(進行波)の振幅 $A_{\mathrm{0}}$ は $1.5 \, \text{m}$ です。
定在波の腹(最も大きく振動する点)では,2つの波の山と山,谷と谷が重なるため,振幅はもとの波の2倍になります。
$$ A = 2 \times A_0 = 2 \times 1.5 = 3.0 \, \text{m} $$
シミュレーションを「コマ送り」して,山と山が重なる瞬間を探してみてください。赤色の波の山が $y=3.0$ まで達しているはずです。
周期について:
定在波の振動の周期 $T$ は,もとの波の周期と一致します。
波の基本公式 $v = \frac{\lambda}{T}$ より,$T = \frac{\lambda}{v}$ を用いて計算します。
問題文より速さ $v = 2.0 \, \text{m/s}$,(1)より波長 $\lambda = 8.0 \, \text{m}$ なので,
$$ T = \frac{8.0}{2.0} = 4.0 \, \text{s} $$
条件:波長 8.0 m、速さ 2.0 m/s、もとの振幅 1.5 m。
振動数の計算:
$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4.0} = 0.25\,\text{Hz}$$腹の位置での最大速度:$v_{\max} = 2A_0 \cdot 2\pi f = 2 \times 1.5 \times 2\pi \times 0.25 = 4.71\,\text{m/s}$
2つの進行波 $y_1 = A_0\sin(kx - \omega t)$ と $y_2 = A_0\sin(kx + \omega t)$ の合成は:
$$y = y_1 + y_2 = 2A_0\sin(kx)\cos(\omega t)$$$\sin(kx) = 0$ の位置が節($x = n\lambda/2$)、$|\sin(kx)| = 1$ の位置が腹です。振幅が位置 $x$ の関数 $2A_0|\sin(kx)|$ で決まることが定在波の本質です。
定在波の重要公式:節の間隔 $= \frac{\lambda}{2}$,腹の振幅 $= 2A_0$(元の波の2倍),周期 $= T$(元の波と同じ)。節は常に変位ゼロ,腹は最大振幅 $\pm 2A_0$ で振動します。