解法

閉管（一端が閉じ、他端が開いた管）の気柱の固有振動について解説します。

閉管の境界条件

閉管では：

• 閉じた端（管底）：節（空気が動けない → 固定端反射）
• 開いた端（管口）：腹（空気が自由に振動 → 自由端反射）

固有振動の波長と振動数

一端が節、他端が腹なので、管の長さ \(l\) は \(\frac{\lambda}{4}\) の奇数倍：

$$ l = m \cdot \frac{\lambda_m}{4} \quad (m = 1, 3, 5, \cdots \text{：奇数のみ}) $$ $$ \lambda_m = \frac{4l}{m} \quad (m = 1, 3, 5, \cdots) $$ $$ f_m = m \cdot \frac{V}{4l} = mf_1 \quad (m = 1, 3, 5, \cdots) $$

具体的な数値計算

閉管の長さ \(l = 0.50\) m、音の速さ \(V = 340\) m/s のとき：

$$ f_1 = \frac{340}{4 \times 0.50} = \frac{340}{2.00} = 170 \text{ Hz（基本振動）} $$ $$ f_3 = 3 \times 170 = 510 \text{ Hz（3倍振動）} $$ $$ f_5 = 5 \times 170 = 850 \text{ Hz（5倍振動）} $$

2倍振動（340 Hz）や4倍振動（680 Hz）は存在しません。

補足：閉管と開管の比較

同じ長さ \(l\) の管で比較すると：

項目	閉管	開管
基本振動数	\(f_1 = \frac{V}{4l}\)	\(f_1 = \frac{V}{2l}\)
倍振動	奇数倍のみ	全整数倍
基本の波長	\(\lambda_1 = 4l\)	\(\lambda_1 = 2l\)

閉管の基本振動数は開管の半分。つまり同じ長さなら閉管の方が低い音が出ます。