解法

開管（両端が開いた管）の気柱の固有振動について解説します。

開管の境界条件

開管では両端が開いているので、両端が腹（自由端反射）になります。

固有振動の波長と振動数

両端が腹なので、管の長さ \(l\) は \(\frac{\lambda}{2}\) の整数倍：

$$ l = m \cdot \frac{\lambda_m}{2} \quad (m = 1, 2, 3, \cdots) $$ $$ \lambda_m = \frac{2l}{m} \quad (m = 1, 2, 3, \cdots) $$ $$ f_m = m \cdot \frac{V}{2l} = mf_1 \quad (m = 1, 2, 3, \cdots) $$

開管では全ての整数倍振動が可能です。

具体的な数値計算

開管の長さ \(l = 0.50\) m、音の速さ \(V = 340\) m/s のとき：

$$ f_1 = \frac{340}{2 \times 0.50} = \frac{340}{1.00} = 340 \text{ Hz} $$ $$ f_2 = 2 \times 340 = 680 \text{ Hz} $$ $$ f_3 = 3 \times 340 = 1020 \text{ Hz} $$

同じ長さの閉管なら \(f_1 = \frac{V}{4l} = \frac{340}{2.00} = 170\) Hz。開管の基本振動数は閉管の2倍です。

補足：弦・閉管・開管の定在波条件の統一的理解

3つの系の定在波条件を統一的に整理すると：

系	境界	基本波長	倍振動
弦	節-節	\(2l\)	全整数倍
開管	腹-腹	\(2l\)	全整数倍
閉管	節-腹	\(4l\)	奇数倍のみ

「同じ種類の端同士」（節-節 or 腹-腹）は全整数倍、「異なる端」（節-腹）は奇数倍のみ。これが共通原理です。

数値計算：計算すると 1 を得る。

数値計算：計算すると 1 を得る。