解法

弦の固有振動に関する計算問題です。基本公式を使って具体的な数値を求めます。

基本振動数の公式

$$ f_1 = \frac{v}{2l} $$

\(m\) 倍振動の振動数：

$$ f_m = mf_1 = m \cdot \frac{v}{2l} $$

具体的な数値計算

弦の長さ \(l = 0.50\) m、波の速さ \(v = 200\) m/s のとき：

$$ f_1 = \frac{200}{2 \times 0.50} = \frac{200}{1.00} = 200 \text{ Hz} $$

2倍振動数：

$$ f_2 = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz} $$

3倍振動の波長：

$$ \lambda_3 = \frac{2l}{3} = \frac{2 \times 0.50}{3} = \frac{1.00}{3} \fallingdotseq 0.333 \text{ m} $$

補足：波の速さが変わる要因

弦を伝わる波の速さは張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) で決まります：

$$ v = \sqrt{\frac{S}{\rho}} $$

この式を基本振動数に代入すると：

$$ f_1 = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}} $$

振動数を上げる（高い音を出す）には：

• 弦を短くする（\(l\) を小さく）
• 弦を強く張る（\(S\) を大きく）
• 軽い弦を使う（\(\rho\) を小さく）

数値計算：2 × 0.50 = 1

数値計算：2 × 0.50 = 1