解法

例題7の類題です。弦の長さと振動数の反比例の関係を確認します。

弦の長さと振動数の関係

基本振動数の公式：

$$ f_1 = \frac{v}{2l} $$

波の速さ \(v\) が同じとき、\(f_1\) は \(l\) に反比例します。

具体的な数値計算

波の速さ \(v = 240\) m/s のとき：

\(l = 0.60\) m の場合：

$$ f_1 = \frac{240}{2 \times 0.60} = \frac{240}{1.20} = 200 \text{ Hz} $$

弦を半分の長さ \(l = 0.30\) m にすると：

$$ f_1' = \frac{240}{2 \times 0.30} = \frac{240}{0.60} = 400 \text{ Hz} $$

振動数は2倍、つまり1オクターブ高い音になります。逆に弦を2倍の \(l = 1.20\) m にすると：

$$ f_1'' = \frac{240}{2 \times 1.20} = \frac{240}{2.40} = 100 \text{ Hz} $$

振動数は半分、1オクターブ低い音になります。

補足：比の計算テクニック

弦の長さが変化したときの振動数の変化は、比を使うと楽に求められます。

\(v\) が同じ2つの弦の基本振動数の比は：

$$ \frac{f_1'}{f_1} = \frac{v/(2l')}{v/(2l)} = \frac{l}{l'} $$

例えば、弦の長さが \(l\) から \(\frac{2}{3}l\) に短くなったとき：

$$ \frac{f_1'}{f_1} = \frac{l}{\frac{2}{3}l} = \frac{3}{2} $$

振動数は \(\frac{3}{2}\) 倍。音楽では完全5度（ドからソ）に相当します。