直感的理解

磁場中のレール上で導体棒が動く電磁誘導の問題。「電源あり」「電源なし＋初速」「2 本の棒（一方が動くともう一方も電流で動く）」と段階的に複雑化する。「電源・棒の動きの両方が起電力に寄与」「動摩擦がなければ最終的に等速運動 or 運動量保存的な定常状態」がポイント。

✏️ 求めるもの

初期電流、定常状態の速度、初速で動かしたあとの速度の時間変化、2 本の棒の最終速度差。「キルヒホッフの式（電源 ± 起電力 = IR）」「運動方程式 \(m\dot v = -BIl\)」「2 本の棒は運動量＋電流の連立」を使う。

👀 観察のポイント

電源あり＋静止初期：電流 \(I = E/R\) で開始 → 棒が動き始める → 起電力が出てきて電流減少 → 終端で電流 0、棒は \(E/(Bd)\) で等速
電源なし＋初速：起電力 \(Bdv\) → 電流 \(I = Bdv/R\) → 力 \(F = -BId\) → 指数減衰
2 本棒：相対速度がゼロになるまで電流が流れる（運動量保存的な状態）

🔧 使う道具

誘導起電力：\(V = Bdv\)（棒が速度 \(v\) で動くとき）
キルヒホッフの式：\(E - Bdv = IR\)（電源と起電力の符号に注意）
磁力（運動を妨げる方向）：\(F = BId\)
運動方程式：\(m\dot v = -BId = -\dfrac{B^2d^2 v}{R}\) → 指数減衰の解 \(v = v_0 e^{-t/\tau}\)、\(\tau = mR/(B^2 d^2)\)
2 本棒の運動量保存：外力なし → \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = \text{一定}\)

問1（電源投入直後）：棒は静止 → 起電力なし → \(I = E/R\)
問2（定常状態）：電流 0 になるまで加速。\(E = Bdv\) より \(v = E/(Bd)\)
問3（電源なし、初速で運動）：運動方程式 \(m\dot v = -B^2d^2 v/R\) を解く → 指数減衰
問5（2 本棒）：外力 \(F_S\) と \(F_T\) で、棒 S は \(v_{S1}\)、棒 T は \(v_{T1}\) で等速。電流は \(I = (E - Bd(v_T - v_S))/R\)

注意

電源あり vs 電源なしで起電力の式が違う。キルヒホッフ第二法則を一周ぐるっと回って書くのが安全（電源は + で起電力は \(\mp\) 棒の運動方向に応じて）。指数減衰の時定数は \(\tau = mR/(B^2 d^2)\) と覚える。

💡 ヒント：磁場中の導体棒の電磁誘導