📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

前半は地中で速度の異なる2層を地震波が伝わるときの屈折と全反射。後半は2 つの鐘 (\(f_1, f_2\)) の間を自転車で移動するときのうなりとドップラー効果。地震波と音波で、屈折・全反射・うなりの式の使い分けが問われる。

✏️ 求めるもの

屈折の法則の適用、全反射の臨界角、移動中のうなり振動数、うなりが0になる速さ。「\(\sin\theta_1/\sin\theta_2 = V_1/V_2\)」「臨界角 \(\sin\theta_c = V_1/V_2\)（速い側へ向かうとき）」「ドップラー \(f' = (V \pm v)/V \cdot f\)」「うなり \(|f_a - f_b|\)」を順に。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

速い層に入ると屈折角は大きくなる（光と同じ）
臨界角を超えると全反射 → 屈折波は消える
自転車が両方の鐘の間で動くと、片方は近づく＋もう片方は遠ざかる → 振動数が変わってうなり振動数が変化

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

屈折の法則：\(\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{V_1}{V_2}\)
全反射の臨界角：\(\sin\theta_c = V_1/V_2\)（\(V_1 < V_2\) で、速い層に入射する場合）
ドップラー効果（観測者が動く）：\(f' = \dfrac{V + v_O}{V} f\)（音源に近づく）、\(f' = \dfrac{V - v_O}{V} f\)（遠ざかる）
うなり：\(f_{\text{beat}} = |f_a - f_b|\)

(1) 屈折の法則：速度比 = sin の比。波動全般で成立
(2) 臨界角：\(\sin\theta_c = V_1/V_2\)。これより大きい入射角で全反射
(3) うなり振動数：自転車が鐘 1 に近づく → \(f_1' = (V + v)/V \cdot f_1\)、鐘 2 から遠ざかる → \(f_2' = (V - v)/V \cdot f_2\)。うなり = \(|f_1' - f_2'|\)
(4) うなりが 0 の条件：\(f_1' = f_2'\) → \((V + v)f_1 = (V - v)f_2\) を解く

注意

「屈折の法則は \(\sin\theta_1/\sin\theta_2 = V_1/V_2\)」と「\(V_2/V_1\) ではない」のを混同しがち。「速い側で角度が大きい」と覚える。臨界角は遅い側から速い側に入射するときのみ起こる（速い側→遅い側では全反射しない）。

💡 ヒント：地震波の屈折と音のドップラー（うなり）

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💡 考え方のヒント