💡 ヒント：力学（ばね・衝突・振り子の総合）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

ばね（縮み \(d\)）で打ち出した A が、糸でつるされた B に衝突する。同質量・完全弾性衝突では速度交換が起こり、A は止まって B が打ち出される。その後 B は振り子運動として上がり、糸の張力や角度依存を計算する。さらに大きな \(d\) ではある角度で糸がたるむ。

✏️ 求めるもの

衝突前後の速度、振り子の角度 \(\theta\) での速さと張力、糸がたるむ条件。「ばねのエネルギー」「同質量・完全弾性で速度交換」「振り子のエネルギー保存」「向心方向の運動方程式」。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 衝突前後の速度：ばねエネルギー \(\tfrac{1}{2}kd^2 = \tfrac{1}{2}m v_A^2\) → \(v_A = d\sqrt{k/m}\)。同質量弾性衝突で交換 → 衝突後 B = \(d\sqrt{k/m}\)、A = 0
  2. (2) 角度 \(\theta\) での B の速さ：エネルギー保存で \(v_B(\theta) = \sqrt{kd^2/m - 2gl(1 - \cos\theta)}\)
  3. (3) 張力：\(T = mg\cos\theta + mv^2/l\)。\(v^2\) を代入して整理 \(T = 3mg\cos\theta - 2mg + kd^2/l\)
  4. (4) 糸がたるむ条件：\(T = 0\) を解く。\(\theta = 120°\) で \(T = 0\) になる \(d\) を求める
注意

糸の張力の式で「\(T - mg\cos\theta = mv^2/l\)」（向心方向の運動方程式）と書くか、「\(T + mg\cos\theta = mv^2/l\)」（最高点側）と書くか、角度の取り方に注意。本問のような大きく振れる振り子では、上半分・下半分で重力の半径方向成分の符号が変わる。