💡 ヒント：万有引力・楕円軌道と微小振動

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

地球を周回する宇宙船 U の力学的エネルギー、円軌道の周期、軌道の摂動による半径方向の微小振動を扱う。「有効ポテンシャル」を使うと、半径方向の運動が「ばねのような微小振動」に見える。一般的な \(1/r^k\) の引力場でも同じ手法が使える発展問題。

✏️ 求めるもの

楕円軌道のエネルギー、円軌道の周期、半径方向の微小振動の周期、一般 \(1/r^k\) でのスケーリング。「\(E = -GMm/(2r)\)」「ケプラー第3法則 \(T^2 \propto r^3\)」「有効ポテンシャル」「微小振動 \(T_r = T\)（k=2 のとき）」。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 楕円軌道のエネルギー：近地点・遠地点の関係式から \(E = -GMm/(2a)\)
  2. (2) 円軌道の周期：\(GM/r^2 = v^2/r\) から \(v = \sqrt{GM/r}\)、\(T = 2\pi r/v\)
  3. (3) 半径方向の微小振動：有効ポテンシャルを \(\Delta R\) で展開して2 次の項から復元力を出す。引力 \(\propto 1/r^2\) の場合は周期比が 1（特殊）
  4. (4) 一般 \(1/r^k\) 引力：展開して周期比を計算（k=2 でのみ周期比 1）
注意

有効ポテンシャルは「角運動量保存を組み込んだ実質的な1次元ポテンシャル」。半径方向の振動の安定性・周期はこの有効ポテンシャルの曲率（2 階微分）で決まる。発展的な内容だが、京大らしい問題。