📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

落下する物体に速度に比例した空気抵抗 \(f = kv\) がはたらきます。最初は速度ゼロで重力 \(mg\) のみ → 加速。速度が増えるにつれ抵抗も増え、やがて抵抗 = 重力になると合力ゼロで加速度ゼロ。これ以上速くならず、等速になります。これが終端速度 \(v_1\)。

イメージは「パラシュート」。最初はぐんぐん加速するが、やがて空気抵抗が体重と釣り合って、安全な速度で等速降下する。比例定数 \(k\) が大きいほど（パラシュートが大きいほど）終端速度は小さい。

✏️ 求めるもの

(1) 終端速度 \(v_1\)、(2) 速度が \(v_1/2\) のときの加速度、(3) v-t グラフの形状。運動方程式 \(ma = mg - kv\) と「加速度ゼロのとき」の条件を使います。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

v-t グラフは下に凸の曲線で、水平線（終端速度 \(v_1\)）に漸近する
抵抗係数 \(k\) を大きくすると終端速度が下がる（落ちにくくなる）
初期は加速度 \(g\)、終端では加速度 0。途中の加速度は \(a = g - kv/m\)

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

運動方程式：\(ma = mg - kv\)（下向きを正、抵抗は上向き）
終端速度の条件：加速度 0 → \(mg - kv_1 = 0\) → \(v_1 = mg/k\)
任意の速度 v での加速度：\(a = g - \dfrac{kv}{m}\)

力を整理：下向きの重力 \(mg\)、上向きの抵抗 \(kv\)。下向きを正にすると合力 = \(mg - kv\)
運動方程式：\(ma = mg - kv\) を立てる
終端速度：「等速 ⇔ 加速度 0」なので、\(0 = mg - kv_1\) より \(v_1 = mg/k\)
v = v₁/2 での加速度：\(a = g - k(v_1/2)/m = g - g/2 = g/2\)（重力加速度の半分）
v-t グラフ：初期傾き \(g\) で増加し、徐々に傾きが緩やかになり \(v_1\) に漸近する曲線

注意

「終端速度に達した瞬間に加速度ゼロ」を覚える。終端速度の式 \(v_1 = mg/k\) は抵抗が速度に比例する場合の関係。\(k\) は質量とは別の比例定数で、空気抵抗の強さを表す。v-t グラフは直線でも放物線でもない（指数関数的に \(v_1\) に近づく）— 「下に凸で頭打ちになる曲線」と覚えよう。

💡 ヒント：空気抵抗を受ける運動と終端速度

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💡 考え方のヒント