💡 ヒント：斜面上の物体が傾く条件（応用問題106）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

傾斜角 \(\theta\) の斜面に、底面が \(a\)、高さが \(b\) の直方体を置いた問題。傾きや高さ・幅の比によって、すべるか傾く（倒れる）か、または両方とも起きないかが決まる。

(1) では「重心まわりのモーメントのつりあい」から垂直抗力の作用点 P の位置 \(d\)を求める。傾きが大きいほど P は下端寄りに移動する。

(2) では「P が下端に到達 → 傾く境界」、(3) では「すべるより先に傾くための摩擦係数の条件」を求める。

✏️ 求めるもの

(1) 垂直抗力の作用点 P の、下端からの距離 \(d\)（\(a, b, \theta\) の式）
(2) 物体が傾き始める傾斜角の条件（\(\tan\theta\) の不等式）
(3) すべる前に傾くための摩擦係数 μ の条件

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 力のつりあい：\(N = mg\cos\theta\)（垂直抗力、面に垂直）、\(F = mg\sin\theta\)（摩擦、面に沿って上向き）
  2. (1) 重心まわりのモーメント：重力 \(mg\) は重心に作用するのでモーメントは 0。摩擦 \(F\) は底面で斜面方向に働き、重心からの距離は \(b/2\)。垂直抗力 \(N\) は底面の P で働き、重心からの距離は \(d\)
    つりあい \(F \cdot (b/2) = N \cdot d\) → \(d\) を解く
  3. (2) 傾く条件：\(d = a/2\) を境界として、\(\tan\theta\) の不等式を立てる
  4. (3) μ の条件：「すべる前に倒れる」＝「傾く瞬間にまだ滑っていない」。傾く境界の \(\tan\theta\) と滑り始める \(\tan\theta = \mu\) を比較
注意

「重心まわりのモーメント」を取るのが最大のコツ。重心まわりだと重力 \(mg\) のモーメントが 0 になり、摩擦と垂直抗力だけの式になる。\(d\) は重心の真下から P までの距離であって、底面の端からの距離ではない（混同注意）。「すべる前に倒れる」＝「\(\tan\theta\)（倒れる境界）＜ \(\mu\)（滑り限界）」、つまりμ が大きいほど倒れる方が先に起こる。