💡 ヒント：斜面上の物体が傾かない条件（基本問題103）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

底面が幅 \(b\)、高さ \(h\) の直方体を、傾斜角 \(\alpha\) の斜面の上に置いた問題。傾きを大きくしていくと、物体は低い側の下端 P を支点に倒れる恐れがある。

傾く境界条件は「重心を通る鉛直線が、底面の P の真上を通る瞬間」。これが幾何的に \(\tan\alpha = b/h\) の関係に対応します（底面幅 \(b\)、高さ \(h\) の場合）。

すべりも同時に起こり得る：「先に倒れるか、先にすべるか」が μ vs 形状比の競合で決まる。

✏️ 求めるもの

傾かない（倒れない）ための傾斜角 α の条件。底面幅 \(b\)、高さ \(h\)、摩擦係数 μ が与えられる。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 重心の位置：直方体の重心は中心。底面の中心から左右 \(b/2\)、上下 \(h/2\) の位置
  2. 鉛直線が底面の P を通る瞬間：幾何的に \(\tan\alpha = (b/2)/(h/2) = b/h\)
  3. 倒れない条件：\(\tan\alpha < b/h\)、または \(\tan\alpha \le b/(2h)\) のような形（底面の半幅と高さの半分の比）になることが多い
  4. すべりとの競合：すべり始める角は \(\tan\alpha = \mu\)。両者を比較して「先に起こる方」が結果になる
注意

倒れる境界の式は底面幅と高さの比で決まる純粋な幾何条件。質量や摩擦係数には依存しない（倒れに関しては）。すべりの条件は摩擦係数だけで決まる。問題が「倒れる条件」を求めているのか「すべる条件」を求めているのか、丁寧に区別しよう。「倒れない」と「すべらない」の両方が必要なら、両方の不等式を満たす角度範囲を答える。