💡 ヒント：斜面上のばね振り子

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

傾き \(\theta\) の斜面に沿って取り付けられたばねの先に物体を取り付ける。物体は斜面上のつりあい位置を中心に振動します。鉛直ばねの問題と似ていますが、重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) がばねの伸びを決める「実効的な重力」になります。

[A] なめらかなら力学的エネルギー保存、[B] あらいなら摩擦の仕事を引いてエネルギー収支を計算します。

✏️ 求めるもの

(1) つりあい位置でのばねの伸び \(x_0\)、(2) なめらかな場合の最下点でのばねの伸び、(3) あらい場合の最下点でのばねの伸び（摩擦の仕事を考慮）。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) つりあいの伸び \(x_0\)：斜面方向のつりあい \(kx_0 = mg\sin\theta\) → \(x_0 = mg\sin\theta/k\)
  2. [A] (2) なめらかな最下点：自然長から最下点までエネルギー保存（自然長で速度 0、最下点でも速度 0、間のばねの仕事と重力の仕事がつり合う） → 最下点の伸び \(x = 2x_0 = 2mg\sin\theta/k\)
  3. [B] (3) あらい場合：摩擦の仕事が加わる。伸び \(x\) 進んだとき
    \(0 = \dfrac{1}{2}kx^2 - mg\sin\theta \cdot x + \mu' mg\cos\theta \cdot x\)
    \(\Rightarrow x = \dfrac{2(mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta)}{k} = \dfrac{2mg(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{k}\)
注意

あらい斜面では、滑り下りるときと滑り上がるときで摩擦の向きが反転します。「最下点」を求めるなら下る向き → 摩擦は上向きなのでエネルギーを奪う側です。次の往路では摩擦が下向きで、振幅は段々小さくなります。