💡 ヒント：振り子のエネルギー保存

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

長さ \(\ell\) の糸の先におもりをつけ、鉛直からの角度 \(\theta_0\) まで持ち上げて手を離す。最下点に向かっておもりは加速し、最下点を通過するときに最高速度になります。

糸の張力は常におもりの速度と垂直 → 仕事をしない。重力だけが仕事をする保存力なので、力学的エネルギーが保存します。最高点と最下点の高さの差から速さを計算できます。

✏️ 求めるもの

(1) 最下点を通過するときの速さ \(v\)、(2) 最下点での糸の張力 \(T\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 最下点の速さ \(v\)：エネルギー保存から \(mg\ell(1 - \cos\theta_0) = \dfrac{1}{2}mv^2\) → \(v = \sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}\)
  2. (2) 最下点での張力 \(T\)：最下点では円運動の中心が真上 → 向心加速度は鉛直上向き。運動方程式は \(T - mg = \dfrac{mv^2}{\ell}\)
  3. 整理する：(1) で得た \(v^2 = 2g\ell(1 - \cos\theta_0)\) を代入 → \(T = mg(3 - 2\cos\theta_0)\) の形になる
注意

最下点で「\(T = mg\)」と思うのは誤り。円運動しているので向心力が必要 → \(T > mg\)。最下点では張力は重力より大きいことを覚えておきましょう。