💡 ヒント：鉛直ばねと物体の運動

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

天井から吊るしたばねに物体をつなぎ、自然長の位置で支えていた手を離すと、物体はつりあい位置を中心に単振動します。最大伸び（最下点）はつりあい位置の伸び \(x_0 = mg/k\) の2 倍になります。

支えていた手が物体を保持していた力、つりあい位置の伸び、最下点での伸び ── これらを順番に考える典型問題です。

✏️ 求めるもの

(1) つりあい位置でのばねの伸び \(x_0\)、(2) 自然長の位置で物体を支えていた力 \(F\)、(3) 最下点でのばねの伸び \(x_{\max}\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) つりあいの伸び \(x_0\)：つりあいの式 \(kx_0 = mg\) → \(x_0 = mg/k\)
  2. (2) 支える力 \(F\)：自然長ではばねの力 0、重力 \(mg\) のみ → 支える力は \(F = mg\)
  3. (3) 最下点の伸び \(x_{\max}\)：自然長と最下点でエネルギー保存 → 最下点で速度 0、ばねの伸び \(x_{\max}\)、自然長から \(x_{\max}\) だけ下がっている → \(mg \cdot x_{\max} = \dfrac{1}{2}k x_{\max}^2\) → \(x_{\max} = 2mg/k = 2x_0\)
注意

鉛直ばねの単振動では、つりあい位置が「振動の中心」になります。「自然長で放す」と、振幅 = \(x_0\) で振動 → 最大伸びは \(2x_0\)。「もっと下から放す」と振幅も大きくなる。振動の中心は自然長ではないことに注意。