📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

ボールが何度も床で跳ねながら水平移動していく問題。各跳ね返りで鉛直方向の速さが \(e\) 倍になり、滞空時間も \(e\) 倍ずつ短くなります。等比数列のパターンが現れる。

水平方向の速度は変わらない（床はなめらか）ので、水平距離は「滞空時間 × 水平速度」を全部足し合わせる。

✏️ 求めるもの

(1) 初回の落下時間 \(t_1\)、(2) 初回跳ね返り高さ \(H\)、(3) \(n\) 回目の跳ね返り直後の速度、(4) \(n\) 回目の滞空時間、(5) 無限回跳ねた後の総水平距離 \(L\)（等比級数の和）。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

跳ね返りごとに高さも滞空時間も等比的に減少（公比 \(e\) または \(e^2\)）
水平速度は不変なので、跳ね返りが進むほど 1 回の水平移動距離も短くなる
\(e < 1\) なら無限回跳ねても有限な総距離に収束（等比級数の収束）

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

自由落下の時間：\(t_1 = \sqrt{2h/g}\)
跳ね返り高さ：\(H_n = e^{2n}\,h\)
跳ね返り直後の鉛直速度：\(v_{y,n} = e^n\,\sqrt{2gh}\)
滞空時間（n 回目）：\(T_n = 2 e^n\,\sqrt{2h/g}\)（上昇 + 下降の合計）
等比級数の和：\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty r^n = \dfrac{1}{1-r}\)（\(|r|<1\)）

(1) 初回落下時間：自由落下より \(t_1 = \sqrt{2h/g}\)
(2) 初回跳ね返り高さ：\(H = e^2 h\)（速度は \(e\) 倍 → 高さは \(e^2\) 倍）
(3)(4) n 回目：速度 \(v_{y,n} = e^n\,\sqrt{2gh}\)、滞空時間 \(T_n = e^n\,T_1 \cdot 2\)（上昇 + 下降）
(5) 総水平距離：\(L = v_0 \cdot \big(t_1 + 2 T_1 (e + e^2 + \cdots)\big) = v_0 \cdot \big(t_1 + 2T_1\,\dfrac{e}{1-e}\big)\)。整理すると \(L = v_0 \,\dfrac{1+e}{1-e}\,\sqrt{2h/g}\)

注意

「\(n\) 回目の滞空時間」は上昇 + 下降の合計なので、片道だけの時間の2 倍。初回の落下だけは「下降のみ」なので \(t_1\) で OK だが、跳ねた後は往復で計算する。等比級数の和の公式 \(\dfrac{1}{1-e}\) は \(|e| < 1\) でのみ収束することを忘れずに。

💡 ヒント：床とのくり返し衝突

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💡 考え方のヒント