📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

地面に半円筒の内側をくりぬいたレール（高さ \(h\) からスタートしてループへ）。物体が円筒内面を滑り、ある角度で面から離れるか、ループを完走するかを問う問題。**抗力 \(N \geq 0\) が「離れない条件」**で、\(N = 0\) になる位置を計算します。最高点まで到達するには \(h \geq 5r/2\) が必要。

✏️ 求めるもの

(1) 角度 \(\theta\) の位置での垂直抗力 \(N\)。(2) ループを完走するための初期高さ \(h\) の条件。(3) 完走できない場合に到達する最大高さ \(H\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

初期高さ \(h\) を上げるほど、ループ内での速さが大きくなる
\(h = 5r/2\) より低いと最高点で離れる（垂直抗力 0 になる手前で速度不足）

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

エネルギー保存（最下点基準）：\(mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgy\)（\(y\) はループ内の高さ）
角度 \(\theta\) の位置での運動方程式（中心向き正、レール内側）：\(N - mg\cos\theta_{下} = m\dfrac{v^2}{r}\)（\(\theta\) は中心の真下からの角度）
離れる条件：\(N = 0\)。最高点なら \(v^2 \geq gr\)、すなわち \(h \geq 5r/2\)

(1) その位置の \(N\) を出す：その点までエネルギー保存で \(v^2\) を出す → 運動方程式で \(N\) を解く
(2) 完走条件：最高点で \(N \geq 0\) → \(v_{最高}^2 \geq gr\) → エネルギー保存で \(h \geq 5r/2\)
(3) 完走できない場合：離れる位置（\(N = 0\) になる角度）を出し、そこから放物運動で到達できる最大高さを計算

注意

**レール内側のループは bp167 と同じ完走条件 \(h \geq 5r/2\)**。\(h < 5r/2\) だと途中でレールから離れて放物運動になり、最高高さが \(h\) より小さくなる。「離れる位置」と「最大到達高さ」は別の量なので注意。

💡 ヒント：円筒の内面をすべり上がる運動

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💡 考え方のヒント