📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

糸につないだおもりを、最下点から初速 \(v_0\) で投げて鉛直面内を 1 周させる問題。**糸はたるむことができる**ので、最高点で必要な向心力を「糸の張力 \(T \geq 0\) と重力 \(mg\) の和」でまかなう必要がある。**\(T = 0\) になる瞬間が「ぎりぎり 1 周できる境界」**。これが \(v_0 \geq \sqrt{5gl}\) の条件です。

✏️ 求めるもの

糸でつないだ球が鉛直面内で 1 周する（糸がたるまずに）ための最下点での最小初速 \(v_0\)。糸の長さ \(l\) が与えられている。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

最高点では糸が中心向き＝下向きに張力。重力も下向き。両方が向心力
初速が小さいと、最高点の手前で速さが 0 になり糸がたるむ → 円運動できなくなる
**「ぎりぎり 1 周」とは最高点で \(T = 0\) になる瞬間 → \(v^2 = gl\)**

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

最高点での運動方程式（向心方向 = 下向き）：\(mg + T = m\dfrac{v^2}{l}\)
糸がたるまない条件：\(T \geq 0\) → \(v^2 \geq gl\)
エネルギー保存（最下点 → 最高点、高さ差 \(2l\)）：\(\dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}mv^2 + mg(2l)\)
合体すると：\(v_0^2 \geq 5gl\)

ステップ 1：最高点での条件：\(T \geq 0\) → \(v_{最高}^2 \geq gl\)（重力だけで向心が足りる最低速度）
ステップ 2：エネルギー保存：最下点と最高点の高低差は \(2l\)。\(\dfrac{1}{2}v_0^2 = \dfrac{1}{2}v_{最高}^2 + g(2l)\)
合体：\(v_{最高}^2 \geq gl\) を代入：\(v_0^2 \geq 5gl\)。**\(v_0 \geq \sqrt{5gl}\) が答え**

注意

**糸の場合**は最高点で \(T = 0\) でもよい（たるむ前の限界）。**棒の場合**は \(T < 0\)（押す力）も許容できるので条件が違う（\(v_{最高} \geq 0\) で十分、\(v_0^2 \geq 4gl\)）。レール内側のループも糸と同じ \(N \geq 0\) → \(v_0^2 \geq 5gr\)。**「糸 vs 棒 vs レール」の違いに気をつける**。

💡 ヒント：鉛直面内の円運動（糸の振り子）

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💡 考え方のヒント