直感的理解

球面・円筒面の外側を物体が滑り落ちていく問題。物体は最初は面に押し付けられているが、ある角度を超えると速さが大きくなりすぎて面から離れる（垂直抗力 \(N\) が 0 になる瞬間）。離れる条件は \(N = 0\) で、エネルギー保存とその位置での運動方程式を組み合わせます。

✏️ 求めるもの

頂点から角度 \(\theta\) すべり落ちたときの速さと、**面から離れる瞬間の角度** \(\theta^*\)。半径 \(l\) または \(R\) が与えられている。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

運動方程式（中心向き）：\(mg\cos\theta - N = m\dfrac{v^2}{R}\)（外側に出ようとする力 = 重力の中心成分 − 抗力）
エネルギー保存（頂点を高さ基準）：\(0 = \dfrac{1}{2}mv^2 - mgR(1 - \cos\theta)\) → \(v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)\)
離れる条件：\(N = 0\)

その角度での速さ：エネルギー保存：\(v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)\)
運動方程式（中心向き正）：\(mg\cos\theta - N = mv^2/R\)。\(N\) について解く：\(N = mg\cos\theta - mv^2/R\)
\(N = 0\) の条件：\(mg\cos\theta = mv^2/R\) → \(\cos\theta = v^2/(gR)\)。エネルギー保存と合わせて：\(\cos\theta = 2(1 - \cos\theta)\) → **\(\cos\theta = 2/3\)**

注意

**外側を滑る** ので「中心向き」は球面の中心へ向く下向き。重力の中心向き成分は \(mg\cos\theta\)、垂直抗力は外向き（中心と逆）。\(N\) の符号を間違えると条件式が反対になる。**\(\cos\theta = 2/3\)** は典型値なので暗記しておくと検算に使える。

💡 ヒント：円筒面上をすべり落ちる運動