📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

ジェットコースターのループ、バケツに水を入れて振り回す遊び — どれも**鉛直面内の円運動**です。等速ではないのがポイント。重力が運動を加速・減速させるので、最下点で速く・最高点で遅くなる。**最高点では重力が向心力になりうる**ので、糸の張力やレールの垂直抗力が最小値になり、ここで「ループを完走できるか」が決まります。

(1) は最高点での速さをエネルギー保存則で求める問題、(2) は最高点でループを完走する条件（最低速度）を求める問題です。

✏️ 求めるもの

(1) 高さ \(h\) から滑り出した物体が、ループ最高点（高さ \(2r\)）で持つ速さ \(v\)。(2) 最高点でちょうどレールから離れずに1周できるための最小の \(h\)。**「最高点で N が 0 以上」が完走条件**。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

最高点では重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N\) が両方とも下向き。これらが向心力（中心向き＝この場合下向き）になる
初期高さ \(h\) が小さいとエネルギー不足で最高点に届かない（途中でレールから離れる）
最高点で \(N = 0\) のとき、重力だけが向心力。これがちょうど「完走できるギリギリ」の条件

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

力学的エネルギー保存：\(\dfrac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgh'\)（摩擦なしの場合）
最高点での運動方程式（中心向き正）：\(mg + N = m\dfrac{v^2}{r}\)
レールから離れない条件：\(N \geq 0\)

(1) エネルギー保存で速さを求める：初期位置（高さ \(h\)）と最高点（高さ \(2r\)）でエネルギー保存。\(mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 + mg(2r)\) を解く
(2) 完走条件：最高点で \(N \geq 0\) が必要。\(mg + N = m\dfrac{v^2}{r}\) より \(N = m\dfrac{v^2}{r} - mg \geq 0\)。よって \(v^2 \geq gr\)
(1) と (2) を組み合わせる：(1) で求めた \(v^2\) を \(v^2 \geq gr\) に代入して \(h\) の条件を出す。**結果は \(h \geq 5r/2\)**（暗記推奨）

注意

最高点での向心方向は下向き。重力も垂直抗力も両方とも下向きでレールから「押される側」になる。糸の振り子の場合は \(N\) を「張力 \(T\)」に置き換えるだけで同じ式。**「\(N = 0\) でちょうど離れる瞬間」が完走の境界条件**で、これより速いか遅いかで結果が変わる。

💡 ヒント：鉛直面内の円運動

📋 問題の状況を整理しよう

🔬 シミュレーションで体感

💡 考え方のヒント