直感的理解

床にばねが立てられていて、その上に板（あるいは台）が乗り、さらにその上におもりが乗っている系。板を押し下げて手を離すとばねの復元力で板＋おもりが一体で振動。ところがある瞬間、垂直抗力 \(N\) がゼロになる位置を超えると、おもりは板から離れて飛び上がります。

イメージは「お皿に物を乗せて勢いよく上げ下げすると、上の点で物が浮く」。離れる瞬間は \(N = 0\)、つまりおもりにかかる力は重力だけで、加速度 \(g\)（下向き）。

✏️ 求めるもの

(1) 任意位置での加速度 \(a\) と垂直抗力 \(N\)、(2) おもりが板から離れる位置 \(x_1\) と速さ \(v_1\)、(3) 離れるまでの時間 \(t_1\)。離れる条件は \(N = 0\)。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

一体の運動方程式：\((M+m)\ddot x = -kx\) で \(\omega^2 = k/(M+m)\)、加速度は \(a = -\omega^2 x\)
おもりの垂直抗力：おもりの運動方程式 \(ma = N - mg\) より \(N = m(g+a) = m(g - \omega^2 x)\)
離れる位置：\(N=0\) ⇔ \(g = \omega^2 x_1\) ⇔ \(x_1 = g/\omega^2 = (M+m)g/k\)（つりあい位置から上向きに）
離れる速さ：エネルギー保存 \((1/2)kA^2 = (1/2)(M+m)v_1^2 + (1/2)kx_1^2\) で \(v_1\)。または \(v = A\omega\sin\omega t\) で \(t_1\) を求めてから計算

注意

一体運動の加速度の最大値が \(g\) を超える位置で離れる。離れる位置 \(x_1 = (M+m)g/k\) は、つりあい位置からの距離。離れた後はおもり単体の運動（投げ上げ）に切り替わる。それ以降は板の運動はばね単体の単振動になる。

💡 ヒント：ばね付きの板にのせた物体の運動