📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

水平ばねにつながれた物体 A の上に物体 B が乗っている系。A と B の間には摩擦があり、静止摩擦力が B を引っ張って一緒に運動させます。一体で動いている間は単振動ですが、もし加速度が大きくなりすぎると、必要な摩擦力が静止摩擦の限界を超え、B が A の上で滑り始めます。

イメージは「お皿の上のコップ。お皿を緩く動かすと一体で動くが、急に動かすとコップが滑る」。一体運動の条件は \(\mu mg \ge ma_{\max}\)。

✏️ 求めるもの

運動方程式・角振動数（一体で動いている前提）と、一体で動くために必要な静止摩擦係数の条件。最大加速度を考えて摩擦の限界と比較する。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

μ が大きい・A が小さいと B は緑色（一体運動）
A が大きすぎると最大加速度が摩擦の限界を超え、B が滑り始める（赤色）
振幅 A と振動数 ω が大きいほど一体運動を維持するのが難しい

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

一体時の運動方程式：\((M+m)\ddot x = -kx\)、\(\omega = \sqrt{k/(M+m)}\)
最大加速度：\(a_{\max} = A\omega^2\)（端で実現）
B にはたらく水平方向の力：A から受ける静止摩擦力 \(f\)（重力は鉛直なので寄与しない）
B の運動方程式：\(m\ddot x = f\)、最大値は \(|f|_{\max} = mA\omega^2\)
静止摩擦の上限：\(f_{\max} = \mu m g\)
一体運動条件：\(mA\omega^2 \le \mu m g\)、整理して \(\mu \ge A\omega^2/g\)

一体運動の運動方程式：合計質量 \(M+m\) に対して \(-kx\)、よって \(\omega^2 = k/(M+m)\)
B の加速度の最大：単振動なので \(a_{\max} = A\omega^2\)。これは端で実現
B が必要とする摩擦力：B にとっての運動方程式 \(m\ddot x = f\)、最大は \(|f|_{\max} = mA\omega^2\)
静止摩擦の限界と比較：\(mA\omega^2 \le \mu m g\)、整理して \(\mu \ge A\omega^2/g = Ak/((M+m)g)\)

注意

「B の摩擦力の向き」は端では中心向き（復元力の補助）、中心では 0、振動の半周期ごとに反転する。必要な摩擦力の最大値が静止摩擦の限界を超えなければ一体運動が維持される。条件式 \(\mu \ge A\omega^2/g\) は振幅 A・角振動数 ω・重力 g で決まり、質量 m に依存しないことに注意。

💡 ヒント：2 物体の単振動（摩擦・乗っている系）

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💡 考え方のヒント