直感的理解

水平ばねに物体を取り付けて、床との間に摩擦がある状況での振動。摩擦力は常に運動の向きと逆にはたらく定数の力 \(\mu' m g\)。だから「右に動いているとき」と「左に動いているとき」で復元力に加わる効果が違います。

結果として、振動するごとに振幅が一定量ずつ減っていく減衰振動になります。各半周期では「ずれた中心」に対する単振動として扱えるのがコツ。

✏️ 求めるもの

(1) 動摩擦係数 \(\mu'\)、(2) 速さが最大となる位置 \(x_n\) と速さ \(v_n\)、(3) 全行程 \(L\) と \(x_n\) の関係、(4) 2 回目の折り返し位置 \(x_2\) など。各半周期の中心が摩擦でずれることを利用。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

動摩擦係数 μ'：運動エネルギー差と摩擦の仕事から、または最大変位の関係から導く
速さ最大の位置 \(x_n\)：合力 0 の位置 \(kx_n = \mu' m g\) で \(x_n = \mu' m g/k\)（半周期ごとに符号が変わる）
速さ \(v_n\)：エネルギー保存「初期 PE = 中心通過時の KE + 摩擦の仕事」で計算
全行程 \(L\)：初期エネルギー \((1/2)kA^2\) が摩擦の仕事 \(\mu' m g L\) で消費されるから \(L = kA^2/(2\mu' m g)\)
折り返し点：各半周期で振幅が \(2\mu' m g/k\) ずつ減少。\(x_n = (-1)^n[A - 2n \mu' m g/k]\)

注意

動摩擦力は常に大きさ一定（速さによらない）。各半周期では「ずれた中心」を持つ単振動。振幅は 1 往復で \(4\mu' m g/k\) ずつ線形に減少（指数減衰ではない）。最終的にばねの復元力が摩擦力を超えられなくなり、その範囲（±\(\mu' m g/k\)）の中で止まる。

💡 ヒント：摩擦力による減衰振動