直感的理解

天井からつるしたばねに物体をぶら下げると、ばねは少し伸びた状態でつりあいます（重力 = ばねの弾性力）。このつりあいの位置を新しい原点に取れば、変位 \(y\) のときの合力は \(-ky\) と水平ばねと同じ形になり、重力は式から消えてしまいます。

イメージは「重力のおかげでばねが少し伸びるけど、振動の中心がそこに移動するだけ。動きの形は水平ばねと同じ」。

✏️ 求めるもの

つりあい位置のばねの伸び \(d_0\)、振動の周期 \(T\)、振幅 \(A\)、最高点・最低点での速度や力など。「振動の中心はつりあい位置」がカギ。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

つりあい位置を求める：\(kd_0 = mg\) から自然長からの伸び \(d_0\)
原点をつりあいに：変位 \(y\)（つりあい位置からの距離・上向き or 下向き正）
合力を計算：ばねの伸び \(d_0+y\) による弾性力 \(-k(d_0+y)\) と重力 \(+mg\) を足すと、\(d_0\) 項が消えて \(F=-ky\)
水平ばねと同じ周期：\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)。重力の影響は中心の位置に現れるだけ

注意

「振動の中心 = つりあい位置」を必ず確認。自然長を中心にしないのが鉄則。エネルギー保存を使う場合も、つりあい位置を基準にすれば「重力ポテンシャル + ばねの位置エネルギー」は \((1/2)ky^2\) の形にまとまります。

💡 ヒント：鉛直ばね振り子