💡 ヒント：人工衛星の打ち上げエネルギー

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

人工衛星を地表（静止）から軌道半径 \(r\) の円軌道に乗せるのに必要なエネルギー \(E\) を求めます。「軌道上の力学的エネルギー − 地表の力学的エネルギー」が答え。地表でも軌道でも、位置エネルギーは \(U = -GMm/r\) で計算します。

イメージは「井戸の底から少しだけ浅い場所に物体を持ち上げる」。地表は深い井戸（\(U = -GMm/R\)）の底、軌道は浅い場所（\(U = -GMm/r\)）。さらに軌道では運動エネルギー \(K = GMm/(2r)\) も持つ必要がある。

✏️ 求めるもの

地表に静止していた質量 \(m\) の衛星を、半径 \(r\) の円軌道に乗せるのに必要なエネルギー \(E\) を、\(g, R, m, r\) で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 地表のエネルギー：静止しているので運動エネルギーは0。\(E = U(R) = -GMm/R\)
  2. 軌道のエネルギー：万有引力 = 向心力から \(K = GMm/(2r)\)、\(U = -GMm/r\) → \(E = -GMm/(2r)\)
  3. 差をとる：\(E = -GMm/(2r) - (-GMm/R) = GMm(1/R - 1/(2r))\)
  4. \(GM = gR^2\) を代入：\(E = gR^2 m \cdot \dfrac{2r - R}{2rR} = mgR\left(1 - \dfrac{R}{2r}\right)\)
注意

地表は静止状態と仮定されているので運動エネルギーは0です（地球の自転は無視）。\(r = R\)（地表すれすれ軌道）の特殊例では \(E = mgR/2\)、これは第一宇宙速度の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_1^2\) と等しい。\(r \to \infty\) で \(E \to mgR = \frac{1}{2}mv_2^2\)（第二宇宙速度の運動エネルギー）と一致するのも検算ポイント。