💡 ヒント：だ円軌道の運動（円→だ円への移行）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

半径 \(2R\) の円軌道を回っていた衛星が、ある点Aで加速されてだ円軌道に変わります。Aがだ円の近地点、反対側のBが遠地点になります。だ円軌道の問題は「円軌道の速さ・周期」+「面積速度一定」+「力学的エネルギー保存」+「ケプラー第三法則」の組み合わせ。

イメージは「公園のメリーゴーランドにブースターをつける」。基本の円運動からポンと加速すると、軌道がふくらんでだ円になる。減速すれば反対側に近づくだ円になる。

✏️ 求めるもの

(1) 円軌道（半径 \(2R\)）の速さ \(v_0\)。(2) その周期 \(T_0\)。(3) だ円軌道の近地点速度 \(v_1\) と遠地点速度 \(v_2\)（OA=2R, OB=6R）。(4) だ円の周期 \(T\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1)(2) 円軌道：万有引力 = 向心力で \(v_0\)、\(T_0 = 2\pi(2R)/v_0\)
  2. (3) だ円の \(v_1, v_2\)：面積速度一定で \(2R \cdot v_1 = 6R \cdot v_2\) → \(v_1 = 3v_2\)。エネルギー保存に代入して \(v_1\) を求める
  3. (4) だ円の周期：半長軸 \(a = (OA+OB)/2 = 4R\)。ケプラー第三法則 \(T^2/a^3 = T_0^2/(2R)^3\) より \(T = T_0 \cdot (4R/2R)^{3/2} = 2\sqrt{2}\,T_0\)
注意

だ円軌道の半長軸 \(a\) は近地点距離と遠地点距離の平均です。\(a = (r_1 + r_2)/2\)。地球はだ円の中心ではなく、焦点にあります。「焦点 = 中心天体」を間違えないように。ケプラー第三法則 \(T^2 \propto a^3\) は円軌道（\(a = r\)）でもだ円軌道でも成り立つ統一則です。